12-amaliy mashg’ulot. Ehtimollarni qo‘shish. Hodisalarning to‘la guruhi. Ehtimollarni ko‘paytirish. To‘la ehtimol. Beyes formulasi

12-AMALIY MASHG’ULOT. EHTIMOLLARNI QO‘SHISH. HODISALARNING TO‘LA GURUHI. EHTIMOLLARNI KO‘PAYTIRISH. TO‘LA EHTIMOL. BEYES FORMULASI.

Qo‘shish teoremasi. A va B birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsin. Bu hodisalardan kamida bittasining yuz berish ehtimoli ularning ehtimollari yig‘indisiga teng, ya’ni

(1)
Yuqorida ikkita hodisa uchun ta’riflangan qo‘shish teoremasini ixtiyoriy chekli sondagi hodisalar uchun to‘g‘riligini ko‘rish qiyin emas. A, B, C, ...,L birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa, u holda
(2)
Masalan, hodisalar uchta bo‘lgan holda

tenglikni yoza olamiz, bundan esa yuqoridagi mulohaza to‘g‘iligi kelib chiqadi. Qo‘shiluvchilar soni ko‘p bo‘lgan hollarda matematik induksiya metodidan foydalanish kerak bo‘ladi.
Quyidagi mulohaza qo‘shish teoremasidan kelib chiqadigan muhim natijadir: agar hodisalar yagona mumkin bo‘lgan va birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa, u holda
(3)
Haqiqatan ham, ( + +...+ ) hodisa muqarrar bo‘lib, uning ehtimoli birga teng. Xususiy holda, agar A va Ᾱ hodisalar o‘zaro qarama-qarshi hodisalarni ifodalasa, u holda
P(A)+P(Ᾱ)=1,
ya’ni ikkita o‘zaro qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yig‘indisi birga teng.
Misol. Nishonga “a’lo” bahoda o‘q uzish ehtimoli 0,3 ga, “yaxshi” bahoda o‘q uzish ehtimoli esa 0,4 ga teng. Otilgan o‘q uchun “yaxshi” bahodan kam baho olmaslik ehtimoli qancha?
Agar A hodisa “a’lo” baho olishni, B hodisa esa “yaxshi” baho olishni bildirsa, u holda
P(A+B)=P(A)+P(B)=0,3+0,4=0,7.
Misol. Pul-buyum lotoreyasida 1000 ta biletli har bir seriyaga 120 ta pul yutuq va 80 ta buyum to‘g‘ri keladi. Bitta lotoreya biletiga biror yutuq chiqish ehtimoli qancha?
Agar A orqali pul yutuq chiqishini, B orqali esa buyum yutuq chiqishini belgilasak, u holda ehtimollik ta’rifiga ko‘ra
; .
Bizni qiziqtirayotgan hodisa (A+B) dan iborat, shuning uchun qo‘shish teoremasidan

kelib chiqadi. Shunday qilib, biror yutuq chiqish ehtimoli 0,2 ga teng ekan.
Navbatdagi teoremaga o‘tishdan oldin muhim tushunchalardan biri bo‘lgan shartli ehtimol tushunchasini kiritamiz. Bu turdagi ehtimol, ya’ni B hodisaning A hodisa yuz berish sharti ostidagi ehtimoli uning shartli ehtimoli deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Agar yuqorida keltirilgan misolda A orqali tanlangan lampochkaning birinchi zavodda tayyorlangan bo‘lishini belgilasak, u holda tenglikni yozish mumkin.
Endi hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimolini hisoblashga doir muhim teoremani ta’riflash mumkin.
Ko‘paytirish teoremasi. A va B hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalardan birining ehtimolini ikkinchi hodisaning birinchi hodisa yuz bergandagi shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga teng bo‘ladi:
. (4)
Bu yerda A·B hodisalarning birgalikda yuz berishi deyilganda ularning ikkalasi ham, ya’ni ham A hodisa, ham B hodisaning yuz berishi tushuniladi.
_{Bu esa A hodisa mumkin bo‘lmagan hodisa bo‘lmagan barcha hollarda o‘rinli.
A va B hodisalar teng huquqli bo‘lgani uchun ularning o‘rinlarini almashtirib, ko‘paytirish teoremasining boshqacha ko‘rinishini hosil qilamiz:
(5)}
P(A·B) ehtimol uchun hosil qilingan ikkita ifodaning o‘ng tomonlarini taqqoslab, ko‘p hollarda foydali bo‘lgan
(6)
tenglikni hosil qilamiz.
Endi ko‘paytirish teoremasini misollar orqali tushuntiramiz.
Misol. Korxona mahsulotining 96%i yaroqli (A hodisa) deb qaraladi. Har 100 ta yaroqli mahsulotdan 75 tasini birinchi navli (B hodisa) bo‘lar ekan. Tasodifan olingan mahsulatning birinchi navli bo‘lish ehtimoli qancha?
Izlanayotgan ehtimol A va B hodisalarni birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan (A va B) hodisaning ehtimolidir. Shartga ko‘ra P(A)=0,96 va . Shuning uchun ko‘paytirish teoremasi quyidagi natijani beradi:
P(A·B)=0,96·0,75=0,72.
Misol. Ayrim o‘q uzishda o‘qning nishonga tegish (A hodisa) ehtimoli 0,2 ga teng. Agar portlatgichlarning 2% i portlamay qolsa (ya’ni 2% o‘q portlamay qoladi), o‘qning nishonga tegish ehtimoli qancha?
B hodisa o‘qning otilishidan iborat hodisa, unga qarama-qarshi hodisa bo‘lsin. U holda masala shartiga ko‘ra bo‘lib, qo‘shish teoremasining natijasiga binoan, . So‘ngra shartga ko‘ra .
O‘qning nishonga tegishi A va B hodisalarning birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan hodisadir. Shuning uchun ko‘paytirish teoremasiga asosan

Agar hodisalarning erkliligi tushunchasidan foydalansak, ko‘paytirish teoremasining muhim xususiy holini hosil qilamiz.
Agar A va B hodisalar erkli bo‘lsa, u holda ularning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng:
(7)
Haqiqatan ham, ko‘paytirish teoremasining dastlabki ifodasi A va B hodisalarning erkliligidan kelib chiqadigan tenglikni e’tiborga olsak, isbot qilinishi kerak bo‘lgan tenglikni hosil qilamiz.
Endi bir nechta A, B, ..., L hodisalarni qaraymiz. Agar A, B, ..., L hodisalar istalgan birining yuz berish ehtimoli boshqalarining yuz berishi yoki yuz bermasligiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu hodisalar birgalikda erkli deyiladi. (A, B, ..., L hodisalar jufti-jufti bilan erkli bo‘lishi ularning birgalikda erkli bo‘lishi uchun yeterli emas)
Hodisalar birgalikda erkli bo‘lgan holda ko‘paytirish teoremasini ularning ixtiyoriy chekli sondagisi uchun quyidagicha ta’riflash mumkin.
Birgalikda erkli bo‘lgan A, B, ..., L hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng:
(8)
Bu tenglikni to‘g‘riligiga matematik induksiya metodi orqali ishonch hosil qilish mumkin.
Misol. Ishchi uchta avtomat-stanokka hizmat ko‘rsatadi. U to‘xtab qolgan stanokning oldiga kelib, uni tuzatishi lozim. Bir soat davomida birinchi stanokning to‘xtamaslik ehtimoli 0,9 ga teng. Ikkinchi va uchinchi stanoklar uchun bu ehtimol mos ravishda 0,8 va 0,7 ga teng. Bir soat davomida ishchining hech bir satanokning oldiga kelmaslik ehtimoli qancha?
Agar stanoklar bir-biriga bog‘liqsiz ishlaydi deb hisoblasak, u holda uchala hodisaning birgalikda yuz berish ehtimoli ko‘patrish teoramasiga asosan ushbu ko‘paytmaga teng bo‘ladi: