12-ma’ruza. Chiziqli operatorlar va ularning

12-ma’ruza.


Chiziqli operatorlar va ularning xossalari

1. 
   Chiziqli operatorning ta’rifi va misollar
   

Biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. Chiziqli operatorlarning aniqlanish sohasi va qiymatlar to‘plami chiziqli normalangan fazolarning qism fazolari bo‘ladi. Shunday qilib, bizga X va Y chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin.
12.1-ta’rif. X fazodan olingan har bir x elementga Y fazoning yagona y
elementini mos qo‘yuvchi

akslantirish operator deyiladi.
Ax  y
x  X ,
y Y 

Umuman A operator X ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas.

Bu holda Ax mavjud va
Ax Y
bo‘lgan barcha
x  X
lar to‘plami A operatorning

aniqlanish sohasi deyiladi va
D( A)
bilan belgilanadi, ya’ni:

DA  x  X : Ax
mavjud va
AxY .

Agar chiziqli A operator qaralayotgan bo‘lsa, D( A) ning chiziqli ko‘pxillilik

bo‘lishi talab qilinadi, ya’ni agar uchun  x   y  DA.
x, y  DA bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ,   C
lar

12.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy sonlar uchun
x, y  DA  X
elementlar va ixtiyoriy ,   C

A( x   y)   Ax   A y
tenglik o‘rinli bo‘lsa, A ga chiziqli operator deyiladi.

12.3-ta’rif. Bizga
A: X  Y
operator va
x₀  DA nuqta berilgan bo‘lsin.

Agar
y₀  Ax₀ Y
ning ixtiyoriy V atrofi uchun,
x₀ nuqtaning shunday U atrofi

mavjud bo‘lib, ixtiyoriy
x U  DA lar uchun
Ax V
bo‘lsa, A operator
x  x₀

nuqtada uzluksiz deyiladi.
12.3-ta’rifga teng kuchli quyidagi ta’riflarni keltiramiz.

12.4-ta’rif. Agar ixtiyoriy 

• 
  0 uchun shunday 
  

     0
mavjud bo‘lib,

x  x₀  
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
x  DA
lar uchun

Ax  Ax₀
  tengsizlik bajarilsa, A operator
x  x₀
nuqtada uzluksiz deyiladi.

12.5-ta’rif. Agar
x₀ nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy
x_n ketma-ketlik uchun

Ax_n  Ax₀
 0 bo‘lsa, u holda A operator
x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Agar A operator ixtiyoriy
operator deyiladi.
x  DA
nuqtada uzluksiz bo‘lsa, A uzluksiz

12.6-ta’rif.
Ax  
tenglikni qanoatlantiruvchi barcha
x  X
lar to‘plami A

operatorning yadrosi deb ataladi va u KerA bilan belgilanadi.

12.7-ta’rif. Biror
x  DA
uchun
y  Ax
bajariladigan
y Y
lar to‘plami

A operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deb ataladi va u bilan belgilanadi.
Im A
yoki
R( A)

Matematik simvollar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini
quyidagicha yozish mumkin:
KerA {x  DA: Ax   },

R(A) : Im A  { y Y : biror
x  DA uchun
y  Ax}.

Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillilik bo‘ladi.

Agar
D( A)  X
bo‘lib, A uzluksiz operator bo‘lsa, u holda KerA yopiq qism fazo

bo‘ladi, ya’ni
KerA  [KerA]. A operator uzluksiz bo‘lgan holda ham
Im A  Y

yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin.

2. 
   Chiziqli operatorlarga misollar
   

12.1-misol. X - ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin.
Ix  x , x  X
akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.
Yechish. Bu operatorning chiziqliligi va uzluksizligi quyidagi tengliklardan bevosita kelib chiqadi:

I ( x   y)   x   y   I x   I y ,
I x  x₀  
x  x₀ .

Qo‘shimcha qilib aytishimiz mumkinki, uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:

D(I )  X ,
R(I )  X ,
KerI
 {}.

12.2-misol. X va Y ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar bo‘lsin.

: X
Y,
 x  

operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Nol operatorning chiziqliligi va uzluksizligi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:

D()  X ,
R()  ,
Ker()  X .

12.3-misol. Aniqlanish sohasi fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi
D( A)  C^1a,b  Ca;b bo‘lgan va
Ca;b

A : Ca;b Ca;b, Af x  f 'x

operatorni qaraymiz. Bu operator differensial operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Uning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy

f , g  D( A)
elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lgan  f
  g
elementga

A operatorning ta’sirini qaraymiz:

A f
  gx  
f x   gx'  
f 'x   g'x   Af x   Agx.

Biz bu yerda yig‘indining hosilasi hosilalar yig‘indisiga tengligidan, hamda

o‘zgarmas sonni hosila belgisi ostidan chiqarish munkinligidan foydalandik. Demak, A operator chiziqli ekan. Uni nol nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz.

Ma’lumki,
A   , bu yerda  - Ca;b fazoning nol elementi, ya’ni  x  0 . Endi

nolga yaqinlashuvchi
f_n  DA ketma-ketlikni tanlaymiz. Umumiylikni buzmagan

holda a  0, b 1 deymiz.


f_n (x) 
_xn1
,
lim
f_n  lim max


 lim ¹  0.

Ikkinchi tomondan,
n  1
n
n 0x1
n _{n  1}

Af_n
x  xⁿ ,
lim
n
Af_n
 A


 lim max xⁿ n 0x1
 lim 1  1  0.
n

Demak, A operator nol nuqtada uzluksiz emas ekan. 12.2-teoremaga ko‘ra differensial operator aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga ega.
Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:
R(A)  C[a,b], KerA  {const}.

12.4-misol. Endi quyidagicha aniqlaymiz:
Ca;b
fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi B operatorni

b
Bf x  _ K x,t  f t dt
a
(12.1)

Bu operator integral operator deyiladi. Bu yerda
K (x, y)
funksiya
[a,b][a,b] -

kvadratda aniqlangan, uzluksiz.
K (x, y)
integral operator-ning o‘zagi (yadrosi)

deyiladi. B operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy
f  C[a,b]
uchun
K(x,t) f (t)
funksiya x va

t larning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan ma’lumki,

integral parametr
x [a,b]
_ K x,t  f t dt

b
a

ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. Bulardan B

operatorning aniqlanish sohasi
D(B)
uchun
D(B)  Ca;b tenglik o‘rinli ekanligi

kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi integrallash amalining

chiziqlilik xossasidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy uchun
f , g  Ca;b
va ,   C
lar

B f
  g x  _ K x,t 

b
a
f t   gt dt 

b b
  _ K x,t  f t dt   _ K x,t gt dt   Bf x  Bgx
a a
tengliklar o‘rinli. Endi integral operator B ning uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz.

0
f  Ca;b
ixtiyoriy tayinlangan element va f_n Ca;b
unga yaqinlashuvchi

ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin. U holda

Bf_n  Bf₀
 max
a xb


_ K x,t  f_n t  a

b
b
f₀ t dt 


(12.2)

Bu yerda
 max
a xb
f_n t 
f₀ t 
max
a xb
_ K x,t dt
a
 C 
f_n  f₀ .

b
C  max _ K x,t  dt .
axb _a

C ning chekli ekanligi
[a,b]
kesmada uzluksiz funksiyaning chegaralangan

ekanligidan kelib chiqadi. Agar (12.2) tengsizlikda
n   da limitga o‘tsak,

lim
n
Bf_n  Bf₀
 C  lim
n
f_n  f₀  0

ekanligini olamiz. Agar
Bf_n  Bf₀
lim
n
 0 tengsizlikni hisobga olsak,
B f_n  B f₀  0 .

Shunday qilib, B integral operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan.
B integral operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi integral operatorning

o‘zagi -
K (x, y)
funksiyaning berilishiga bog‘liq. Masalan,
K(x,t)  1
bo‘lsa, B

operatorning qiymatlar sohasi
ImB
o‘zgarmas funksiyalardan iborat, ya’ni

Im B
 f
 C[a,b] :
f (t)  const, uning yadrosi KerB o‘zgarmasga ortogonal

funksiyalardan iborat, ya’ni

KerB
 {  f
 Ca;b : _

b
a
f t dt
 0}.

12.8-ta’rif. Bizga X normalangan fazoning M to‘plami berilgan bo‘lsin.

Agar shunday
C  0
son mavjud bo‘lib, barcha x  M uchun
x  C
tengsizlik

o‘rinli bo‘lsa, M to‘plam chegaralangan deyiladi.
12.9-ta’rif. X fazoni Y fazoga akslantiruvchi A chiziqli operator berilgan

bo‘lsin. Agar A ning aniqlanish sohasi
D( A)  X
bo‘lib, har qanday chegaralangan

to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantirsa, A ga chegaralangan operator deyiladi.

Chiziqli operatorning chegaralanganligini tekshirish uchun quyidagi ta’rif qulaydir.

12.10-ta’rif.
A : X  Y
chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday
C  0
son

mavjud bo‘lib, ixtiyoriy
x  DA uchun


Ax  C  x
(12.3)

tengsizlik bajarilsa, A chegaralangan operator deyiladi.
12.11-ta’rif. (12.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi C sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi A operatorning normasi deyiladi, va u A bilan belgilanadi, ya’ni
A  inf C .

Bu ta’rifdan ixtiyoriy ekanligi kelib chiqadi.
x  D A
uchun
Ax 
A  x
tengsizlik o‘rinli

A x
	x

12.1-teorema. X normalangan fazoni Y normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan A operatorning normasi A uchun

A  sup
A x  sup
(12.4)

tenglik o‘rinli.
x 1
x 

Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz


  sup .
x

A chiziqli operator bo‘lgani uchun


  sup
x 
 sup A
x
 sup Ax .
x 1

Ixtiyoriy
x  0
uchun

A x
	x

  .

Demak, ixtiyoriy
x  X
uchun
A x  
x . Bundan esa

A   . (12.5)

Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy element mavjudki,
  0
son uchun, shunday
x_  

     A

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan   0 ixtiyoriy bo‘lgani uchun,

  A
. (12.6)

(12.5) va (12.6) lardan
A  
tenglik kelib chiqadi. ∆

12.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan A operator uchun
sup A x  sup A x

tenglik o‘rinli.

12.1-tasdiqni mustaqil isbotlang.
x 1
x 1

X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi
chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini L( X ,Y ) bilan belgilaymiz. Xususan,

X  Y
bo‘lsa
L( X , X )  L( X ) .

12.1-natija. Ixtiyoriy A  L( X ,Y ) va
x  DA,
x  1 uchun

tengsizlik o‘rinli.
Ax  A
(12.7)

(12.7) tengsizlikning isboti (12.4) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi.