12-ma’ruza. Chiziqli operatorlar va ularning

12.12-ta’rif.
A : X
 Y va B : X
 Y chiziqli operatorlarning yig‘indisi

deb,
x  D(A)  D(B)
elementga
y  Ax  Bx Y
elementni mos qo‘yuvchi

C  A  B operatorga aytiladi.
Ravshanki, C chiziqli operator bo‘ladi. Agar
C ham chegaralangan operator bo‘ladi va
A, B  L( X ,Y )
bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
C  A  B 
A  B
(12.8)

C x 
Ax  B x 
Ax 
B x 

1. 
    x 
   
2. 
    x
   

  A 
B  x .

Bu yerdan (12.8) tengsizlik kelib chiqadi.
12.13-ta’rif. A chiziqli operatorning  songa ko‘paytmasi x elementga

 Ax
elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni

 Ax   Ax .

12.14-ta’rif.
A : X  Y
va B : Y  Z
chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib

R(A) 
D(B)
bo‘lsin. B va A operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir

x  D(A)
ga Z fazoning
z  B(Ax)
elementini mos qo‘yuvchi
C  BA: X  Z

operator tushuniladi.

Agar A va B lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda C ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va

.



x
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,

3. 
    B  A
   

(12.9)

Z
C x 
BAx 
B  Ax
B  A 

Z

Y

X
Bu yerdan (12.9) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.

Agar X va Y lar chiziqli normalangan fazolar bo‘lsa,
L( X ,Y )
ham chiziqli

normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni
p : L(X ,Y )  R ,

pA  sup A x
x 1

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi.

12.2-teorema. X normalangan fazoni Y normalangan fazoga akslantiruvchi
A : X  Y chiziqli operator berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tasdiqlar teng kuchli:

1. 
   A operator biror
   

x₀ nuqtada uzluksiz;

2. 
   A operator uzluksiz;
   
3. 
   A operator chegaralangan.
   

Isbot. 1)  2). Chiziqli A operatorning biror
x₀ nuqtada uzluksiz ekanligidan

uning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekanligini keltirib chiqaramiz.

n
A operator
x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lganligi uchun,
x₀ ga intiluvchi ixtiyoriy

n
x⁰ ketma-ketlik uchun
A x⁰
 A x₀
. Ixtiyoriy
x^ D( A)
nuqta uchun,
x_n^
 x^

ekanligidan
Ax_n^
 Ax^
kelib chiqishini ko‘rsatamiz.
y_n^
 x_n^
 x' x₀  x₀

deymiz. U holda

lim
n
Bu esa
Ay_n^
 lim
n
Ax_n^

• 
  x' x₀   lim Ax_n^
  

n
 Ax' Ax₀   Ax₀ .

lim
n
Ax_n^
 Ax'

ekanligini bildiradi. Demak, A operator ixtiyoriy x^ nuqtada uzluksiz.

2. 
    3). A operatorning uzluksiz ekanligidan uning chegaralanganligi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, A chiziqli operator uzluksiz
   

bo‘lsin, lekin chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni ixtiyoriy
x_c  DA element mavjud bo‘lib,
C  0
son uchun shunday

Ax_c  C x_c

bo‘lsin. Agar
C  n  N
desak, ixtiyoriy
n  N
uchun shunday
x_n  DA

mavjudki,
A x_n  n x_n
tengsizlik bajariladi. Quyidagi

x_n
_n 

ketma-ketlikni qaraymiz. Ko‘rinib turibdiki, _n
  , ya’ni

Ikkinchi tomondan,
_n  
 
 _xn 
x  ¹  0.
n _n

A_n  A
 A^
_ n
 _
x_{n }
Ax_n 
Ax_n  1

Bu qarama-qarshilik A operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi.

2. 
   1). A chiziqli chegaralangan operatorning biror nuqtada uzluksizligini ko‘rsatamiz.
   

Ta’rifga ko‘ra, shunday C  0
son mavjudki, ixtiyoriy
x  D( A)
uchun

Y

x

X
A x  C

tengsizlik bajariladi. Faraz qilaylik,
{x_n }
- x ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-

ketlik bo‘lsin, u holda
Ax_n  Ax
ekanligini ko‘rsatamiz:

ya’ni


Ax_n  Ax . ∆
Ax_n  Ax 
Ax_n  x
 C x_n  x
 0,

12.2-natija. A chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
12.5-misol. Birlik va nol operatorlarning (12.1 va 12.2-misollar) chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, ularning normasini hisoblang.
Yechish. Birlik operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini

hisoblaymiz. Ixtiyoriy
x  E
uchun
I x  x
tenglik o‘rinli. Ta’rifga ko‘ra, I

chegaralangan va uning normasi 1 ga teng. Endi nol operatorning chegaralangan

ekanligini ko‘rsatib, uning normasini topamiz. Istalgan
x  E
uchun

 x  
 0 tenglik o‘rinli. Bundan
  0 ekanligi kelib chiqadi. Nol operator

L( X ,Y ) chiziqli normalangan fazoning nol elementi bo‘ladi.

6. 
   12.3-misolda keltirilgan
   

A: C[a,b]  C[a,b]
differensial operatorning

chegaralanmagan ekanligini ko‘rsating.

Yechish. Buning uchun A akslantirishda DA  C^10, 1 fazodagi birlik shar

B[ ,1]
ning tasviri chegaralanmagan to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. Birlik

shar
B[ ,1] da yotuvchi { f_n } ketma-ketlikni quyidagicha tanlaymiz:

n
U holda
f x  xⁿ ,
f  max xⁿ

n
0x1
 1.

Bundan
A f_n
x  n  x^n1,
A f_n
 max n  xⁿ
0x1
 n.

lim
n
A f_n  

ekanligi kelib chiqadi. Demak, differensial operator chegaralanmagan ekan.

6. 
   12.4-misolda keltirilgan
   

chegaralangan ekanligini ko‘rsating.
B :Ca,b Ca,b
integral operatorning

Yechish. 12.4-misolda B operatorning uzluksiz ekanligi ko‘rsatilgan edi.
12.2-natijaga ko‘ra, u chegaralangan bo‘ladi.

6. 
   C[1,1] fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya’ni
   

B : C[1,1]  C[1,1],
(Bf )(x)  x f (x)
(12.10)

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.

Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Uzluksiz funksiyalarning ko‘paytmasi uzluksiz ekanligidan B operatorning aniqlanish sohasi
D(B)  C[1,1] ekanligi kelib chiqadi. Endi B operatorning chegaralangan

ekanligini ko‘rsatamiz.
B f

 max

1x1


x f x


 max x
1x1


 max
1x1


f x


 1 f .

Bu tengsizlikdan B operatorning chegaralangan ekanligi va B  1 kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan, agar
f₀ x  1 desak, u holda

B f₀
x  x,
B f₀
 1, B   1

ni olamiz. Yuqoridagilardan
B  1
kelib chiqadi.

Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki,
L₂1, 1 Hilbert fazosida ham (12.10) tenglik

bilan aniqlangan B operator chiziqli chegaralangan bo‘lib, normasi 1 ga teng bo‘ladi.

6. 
   Endi  ₂
   

fazoda ko‘paytirish operatorini, ya’ni

A :₂  ₂,
Ax_n  a_nx_n ,
sup a_n
n1
 a  
(12.11)

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.

Yechish. Ixtiyoriy
x  ₂
uchun A x  ₂
ekanligini ko‘rsatamiz:





n1
Ax_n

2 _{ }
n1
a_nx_n
²  sup
n1




a
2
n
n1
x ²  a²
x ² .

(12.12)

n
Bu munosabatlardan
D( A)   ₂
ekanligini olamiz. Endi uning chiziqli ekanligini

n n
ko‘rsatamiz. A operatorning aniqlanishiga ko‘ra

n
A x   y
 a_n  x_n   y_n    a_n x_n   a_n y_n
  Ax   A y .

Demak, A chiziqli operator ekan. Uning chegaralangan ekanligi (12.12)

tengsizlikdan kelib chiqadi. Bundan tashqari (12.12) tengsizlikdan
A  a
ekanligi

ham kelib chiqadi. A operatorning normasi
A  a
ekanligini isbotlaymiz. Buning

uchun
 fazoda e_n^
ortonormal sistemani ((5.8)ga qarang) olamiz. A

2

n1
operatorning aniqlanishiga ko‘ra, ixtiyoriy Bundan va (12.7) dan
n  N
uchun
Ae_n  a_ne_n
tenglik o‘rinli.

A  Ae_n
 a_ne_n
 a_n  e_n
 a_n

munosabat kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy
n  N
da o‘rinli bo‘lgani uchun

A  sup
n1
a_n  a
(12.13)

ni olamiz. Demak,
A  a
tenglik isbotlandi. ∆