15 godzin zajęć statystyka medyczna podział materiału. Wstęp do statystyki

15 godzin zajęć - statystyka medyczna - podział materiału.

1. 
   Wstęp do statystyki:
   
   1. 
      Co to jest statystyka i czym się zajmuje?  opis i estymacja, czyli przewidywanie parametrów dla całej populacji na podstawie badań na próbkach
      
   2. 
      podstawowe pojęcia:
      
      1. 
         populacja
         
      2. 
         próbka reprezentatywna,
         
      3. 
         estymatory:
         
         1. 
            obciążone i nieobciążone (E(v')=v)
            
         2. 
            zgodny (lim_N→∞ P(|v'-v|>ε)=0), niezgodny
            
   3. 
      mierzone wielkości i skala pomiarowa: jakościowa i ilościowa. jakościowa: nominalna, porządkowa. ilościowa: interwałowa (równomierna)  ciągła i dyskretna, ilorazowa
      
      1. 
         nominalna - wynikiem pomiaru jest rozłączna kategoria, np.: kolor oczu, płeć, grupa krwi,
         
      2. 
         porządkowa - podobnie jak nominalna, tylko że wyniki można jednoznacznie uporządkować, np.: stopień znajomości języka: podstawowy, średnio zaawansowany, zaawansowany, biegły, lub masa ciała: niedowaga, norma, nadwaga, otyłość. Skala ta może być wyrażana pry pomocy cyfr, np. tak i nie to 1 i 0, lub skala Apgar (0-10)
         
      3. 
         przedziałowa (interwałowa, równomierna) - tak jak porządkowa, tylko że można obliczyć odległość między wynikami, większość pomiarów należy do tej skali, np.: ciśnienie krwi, masa ciała, temperatura
         
      4. 
         ilorazowa - to samo co skala przedziałowa z tym że iloraz ma sens (istnieje bezwzględne zero), np. wiek,
         
   4. 
      Sposoby przedstawiania surowych danych (szeregi statystyczne: szeregi szczegółowe, rozdzielcze i czasowe ):
      
      1. 
         histogramy, zwykłe i skumulowane - skala przedziałowa/ilorazowa - zmienne ciągłe
         
      2. 
         wykresy słupkowe - zmienne dyskretne - realizowane w statistica przez histogram
         
      3. 
         wykresy kołowe - wszystkie skale
         
      4. 
         łodyga i liście - skala przedziałowa /ilorazowa (diagram łodyga i liście - stat. podstawowe)
         
      5. 
         wykresy rozrzutu - skala przedziałowa/ilorazowa
         
   5. 
      Elementy rachunku prawdopodobieństwa:
      
      1. 
         wynik badania jako zmienna losowa
         
      2. 
         częstotliwościowa definicja prawdopodobieństwa
         
      3. 
         Zdarzenia zależna i niezależne, reguły działań dla zdarzeń niezależnych
         
      4. 
         Prawdopodobieństwo warunkowe i reguły Bayesa
         
         1. 
            P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
            
         2. 
            P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
            
         3. 
            czułość testu diag.: prawdopodobieństwo że test wypadnie dodatnio zakładając, że pacjent jest rzeczywiście chory.
            
         4. 
            swoistość testu diag.: prawdopodobieństwo że test wypadnie ujemnie zakładając, że pacjent nie jest chory.
            
2. 
   Statystyka opisowa+ wykres ramka wąsy.
   
   1. 
      miary położenia - tendencji centralnej:
      
      1. 
         średnia arytmetyczna, ważona - wrażliwa na wartości odstające
         
      2. 
         mediana
         
      3. 
         moda
         
      4. 
         kwartyle, percentyle
         
   2. 
      miary zmienności
      
      1. 
         wariancja
         
      2. 
         odchylenie standardowe
         
      3. 
         odchylenie ćwiartkowe
         
      4. 
         współczynnik zmienności lub
         

         	Men	women
         height	175 +- 15 cm 0.0857	165+- 14 cm 0.0848
         mass	75 +- 10 kg 0.13	55+-9 kg 0.16

   3. 
      miary symetrii (Histogram --> rozkład prawdopodobieństwa: zmienne dyskretne i ciągłe, funkcja gęstości i dystrybuanta.)
      
      1. 
         kurtoza K>0 - bardziej smukła niż normalny (rozkład leptokurtyczny), K<0 mniej smukła niż normalny (rozkład platokurtyczny)
         

2. 
   skośność (współczynnik symetrii) A_s>0 - mediana i moda na lewo od średniej (symetria prawostronna - Mo), A_s<0 symetria lewostronna - Mo>Me>.
   

lub wersji pozycyjnej:

1. 
   graficzna prezentacja statystyk:
   
   1. 
      rysunek ramka wąsy
      
1. 
   Rozkłady prawdopodobieństwa, w szczególności rozkład normalny, przedział ufności, wartości krytyczne, centralne twierdzenie graniczne, rozkład t-studenta.
   
   1. 
      Histogram --> rozkład prawdopodobieństwa: zmienne dyskretne i ciągłe, funkcja gęstości i dystrybuanta.
      
   2. 
      rodzaj rozkładów prawdopodobieństwa:
      
      1. 
         symetryczny
         
      2. 
         asymetryczny
         
      3. 
         o kształcie J
         
      4. 
         multimodalny
         
   3. 
      Rozkład normalny
      
      1. 
         definicja
         
      2. 
         właściwości: wartość średnia, wariancja, odchylenie standardowe
         
      3. 
         standaryzacja
         
      4. 
         kwartyle i inne dla N(0,1) Q₁=-0.67, Q₃=0.67
         
         1. 
            ±σ → 68%
            
         2. 
            ±2σ → 95%
            
         3. 
            ±3σ → 99%
            
      5. 
         przedział ufności, poziom istotności, wartości krytyczne
         
   4. 
      Inne rozkłady: Poison, binomialny - mogą być często przybliżane rozkładem normalnym
      
   5. 
      Centralne twierdzenie graniczne
      

Jeśli będziemy brali średnie n-elementowych próbek z dowolnej populacji (dystrybucji) to będą one w przybliżeniu miały rozkład normalny, którego średnia to średnia populacji, a odchylenie standardowe to (odchylenie populacji)/pierwiastek(n)

1. 
   Przedział ufności dla średniej ze znaną i nieznaną wariancją populacji
   
   1. 
      wariancja próbkowania i błąd standardowy (SEM)
      
   2. 
      średnia próbki jest dobrym nieobciążonym estymatorem średniej populacji
      
   3. 
      jeśli znamy wariancję populacji - - to możemy oszacować przedział ufności dla prawdziwej średniej populacji. Zakładając, że średnia z próbki powinna z dużym prawdopodobieństwem znajdować się w przedziale ufności określonym przez średnią z populacji
      
   4. 
      jeśli znamy tylko wariancję próbki to stosujemy rozkład t-studenta z n-1 stopniami swobody - zmienna
      
   5. 
      Wartości krytyczne rozkładu dla danego poziomu istotności
      
   6. 
      Dwa sformułowania: w przedziale ufności z prawdopodobieństwem 1-α znajduje się średnia z populacji. W (1-α)*100% przedziałów ufności utworzonych dla losowo wybranych próbek znajduje się średnia z populacji.
      
1. 
   Testy dla jednej próbki, schemat 5 punktów, rodzaje błędów.
   
   1. 
      Testowanie hipotez:
      
      1. 
         Hipoteza H₀ i H₁ - alternatywna, poziom istotności α
         
      2. 
         Błąd pierwszego i drugiego rodzaju, moc testu.
         

prawdopodobieństwo	H0 prawdziwa	H1 prawdziwa
Nie odrzucamy H0	ok - 1-α	β – błąd 2 rodzaju
akceptacja H1	α - błąd 1 rodzaju	ok - 1-β

Moc testu to prawdopodobieństwo 1-β, że jeśli hipoteza H₁ jest prawdziwa to H₁ zostanie zaakceptowana.

1. 
   Test t dla jednej próbki (rozkład Gaussa lub duża próbka)
   
   1. 
      H₀: μ=μ₀, σ=σ₀; H₁:μ≠μ₀, σ=σ₀ for α=0.05
      
   2. 
      znajdź
      
   3. 
      
      
   4. 
      oblicz t_α/2 i sprawdź czy t należy do przedziału ufności, czyli, czy jest między -t_α/2 i t_α/2  jeśli tak to nie mamy podstaw do odrzucenia H₀
      
   5. 
      wartość P - Jeśli P>α → wybieramy H₀, jeśli P<α → odrzucamy H₀
      
2. 
   Analiza graficzna błędów I i II rodzaju na przykładzie testu t dla jednej grupy.
   
3. 
   Analiza mocy testu - dobór wielkości grupy i wartości α.
   
4. 
   Test t a przedział ufności.
   
5. 
   Testy jednostronne P_jedn=P/2, zwrócić uwagę na znak t.
   
6. 
   schemat 5 punktów
   
   1. 
      Zdefiniuj hipotezę zerową i alternatywną, oraz poziom istotności
      
   2. 
      Zbierz odpowiednie dane
      
   3. 
      Oblicz wartość statystyki
      
   4. 
      Oblicz wartości krytyczne odpowiedniego rozkładu, lub/i wartość P.
      
   5. 
      Zinterpretuj wyniki.
      
1. 
   Testy t-studenta dla dwóch próbek zależnych i niezależnych.
   
   1. 
      Test t dla dwóch próbek zależnych (rozkład normalny różnicy d)
      
      1. 
         H₀: μ₁=μ₂, H₁:μ₁≠μ₂, for α=0.05
         
      2. 
         znajdź
         
      3. 
         , gdzie S dotyczy d
         
      4. 
         oblicz t_α/2 i sprawdź czy t należy do przedziału ufności, czyli, czy jest między -t_α/2 i t_α/2  jeśli tak to akceptujemy H₀
         
      5. 
         wartość P ?
         
   2. 
      Test t dla dwóch próbek niezależnych (rozkład normalny w obu próbkach, równe wariancje, i wielkości prób)
      
      1. 
         H₀: μ₁=μ₂, σ₁=σ₂; H₁:μ₁≠μ₂, σ₁=σ₂ for α=0.05 and n₁=n₂=n
         
      2. 
         , gdzie i ilość stopni swobody df=2n-2
         
      3. 
         oblicz t_α/2 i sprawdź czy t należy do przedziału ufności, czyli, czy jest między -t_α/2 i t_α/2  jeśli tak to akceptujemy H₀
         
      4. 
         wartość P ?
         
      5. 
         Istnieją też wersje dla różnych wielkości prób i nierównych wariancji
         
   3. 
      Testy t dla dwóch próbek niezależnych o różnych wariancjach i różnych rozmiarach
      
   4. 
      Sprawdzanie normalności przy pomocy testu Shapiro-Wilka: histogramy lub wykresy normalności
      
   5. 
      Sprawdzanie równości wariancji przy pomocy testu
      
   6. 
      Testy jednostronne a test dwustronny.
      
2. 
   Testy nieparametryczne dla dwóch próbek: Wilcoxon i Mann-Whitney.
   
   1. 
      Testy dla próbek zależnych:
      
      1. 
         test znaków (zmienna co najmniej w skali porządkowej, zmienna w skali interwałowej nie musi mieć rozkładu normalnego)
         
         1. 
            Tworzymy pary wyników x_i i y_i
            
         2. 
            Statystyka W to liczba par w których x_i > y_i, podlega rozkładowi dwumianowamu
            
         3. 
            H₀: ϕ₁= ϕ₂ H₁: ϕ₁≠ϕ₂
            
      2. 
         test rangowy (Wilcoxona) (zmienna w skali interwałowej).
         
         1. 
            Tworzymy pary wyników z_i= x_i - y_i
            
         2. 
            Następnie szeregujemy z_i wg bezwzględnej wartości od najmniejszej do największej. Odrzucamy z_i=0
            
         3. 
            Przypisujemy kolejne rangi, tak że 1 jest przypisana najmniejszej bezwzględnej wartości, itd.. Gdy mamy kilka takich samych wartości to przypisujemy im rangę równą średniej rozpinanych rang.
            
         4. 
            Statystyka
            
         5. 
            H₀: ϕ₁= ϕ₂ H₁: ϕ₁≠ϕ₂
            
   2. 
      Test Manna-Whitneya dla próbek niezależnych
      
      1. 
         H₀: P(X > Y) =P(Y > X) H₁: P(X > Y) ≠ P(Y > X) lub ew. dla próbek symetrycznych H₀: ϕ₁= ϕ₂ H₁: ϕ₁≠ϕ₂
         
      2. 
         rangujemy wyniki z obu próbek
         
      3. 
         Obliczamy statystykę U
         
         1. 
            U jest równe ilości przypadków kiedy zmienna ze zbioru 1 ma większą rangę niż zmienna ze zbioru 2. Dla wygody przyjmujemy, że zbiór 1 ma mniejsze rangi.
            
         2. 
            Inny sposób: Niech R₁ i R₂ to odpowiednio sumy rang dla zbiorów 1 i 2. Wówczas
            

1. 
   U jest stabelaryzowane dla małych grup (n₁,n₂ ≤20). Dla dużych próbek może być przybliżone rozkładem normalnym. Gdy wartość U jest dostatecznie mała to odrzucamy H₀. Wartość oczekiwana U gdy H₀ jest prawdziwa wynosi n₁n₂/2
   
1. 
   Schemat testów:
   
   1. 
      rodzaj testu: porównanie lub zależność
      
   2. 
      skala pomiarowa
      
   3. 
      wybór testu
      
   4. 
      hipotezy H₀ i H₁
      
   5. 
      wynik: P
      
   6. 
      Interpretacja wyniku
      
1. 
   Relacja między danymi (korelacja, regresja)
   

1. 
   Jeśli jednocześnie zachodzą (relacja liniowa, nie ma wyników odstających, ani podgrup, normalny rozkład obu zmiennych) wtedy stosujemy współczynnik korelacji liniowej Pearsona r
   

1. 
   r² – jest miarą (ułamkową) zmienności y, która może być wyjaśniona jej liniową zależnością od x --> rysunek przy regresji
   
2. 
   Testowanie hipotez:
   
   1. 
      H₀: ρ=0, H₁: ρ≠0  zmienna testowa t-student test z n-2 stopniami swobody
      
   2. 
      H₀: ρ=ρ₀, H₁: ρ≠ρ₀  zmienna testowa Gaussian test - transformacja odwrotna
      

Przedział ufności dla z -->

2. 
   Jeśli zachodzi któryś z następujących warunków (jedna ze zmiennych jest w skali porządkowej, żadna zmienna nie ma rozkładu normalnego, mała próbka, zależność nieliniowa) wtedy stosujemy współczynnik korelacji Spearmana
   

1. 
   r_s – r obliczony dla rang
   
2. 
   r_s² nie może być interpretowany tak jak r²
   
3. 
   Testowanie hipotez jak w przypadku r
   

3. 
   regresja liniowa – obliczana gdy zachodzą jednocześnie (liniowa zależność między zmiennymi, niezależne wyniki (nie dla tego samego pacjenta), rozkład zmiennej zależnej y dla danej zmiennej niezależnej x jest normalny, wariancja y jest taka sama dla każdego x, x może być mierzony bez błędu, rozkład normalny reszt)
   
   1. 
      y=a+bx – współ. a i b liczone metodą najmniejszych kwadratów.
      

2. 
   testowanie hipotez dla b - test F dla ilorazu odchyleń kwadratowych zmienność reg./zmienność res.:
   
   1. 
      H₀: β=0, H₁: β≠0
      
3. 
   b* w statistice to po prostu r.