4. To’lqin funkstiyaga qo’yiladgan talablar

4. To’lqin funkstiyaga qo’yiladgan talablar
Mikroolamda yuz beradigan fizikaviy hodisalarni tavsiflashda (r,t) – to’lqin funkstiya juda muhim vazifani bajaradi. To’lqin funkstiya vazifasini bajaradi. To’lqin funkstiya o’z vazifasini yaxshi uddalashi uchun, u Shryodinger tenglamasini echimi sifatida quyidagi talablarga rioya qilishi kerak:

1. 
   To’lqin funkstiya
   

kabi munosabatlar bilan mos kelishi (sig`ilishi);

2. 
   Shryodinger tenglamasini barcha mumkin bo’lgan echimlariga nisbatan chiziqli bo’lishi; bu degani, agar ₁(x),₂(x),,_n(x) funkstiyalar Shryodinger tenglamasini echimlari bo’lsa, uholda
   

funkstiya ham mumkin bo’lgan echim, bunda a₁,a₂,,a_n – doimiyliklar. Qisqacha aytganda holatning superpozistiya prinstipiga bo’ysunishi shart.

3. 
   To’lqin funkstiyaning hosilasi, ya’ni - funkstiya ham chiziqli bo’lishi;
   
4. 
   (x,t) funkstiya va uning hosilasi ham «o’zini yaxshi tutishi», ya’ni matematik til bilan aytganda bir qiymatli, chekli va uzluksiz bo’lishi;
   
5. 
   da (x,t) funkstiya nolga intilishi, ya’ni bajarilishi shart.
   

Bir qiymatlilik talabiga bo’ysunuvchi to’lqin funkstiya (x,t) ni ba’zi xossalari ustida to’xtalamiz. Vaqtning biror onida va fazoning biror nuqtasi uchun hisoblangan vaqtning shu momentida fazoning shu nuqtasida shu to’lqin funkstiyani tavsiflovchi zarraning qayd qilishi ehtimoliga proporstional. Bu esa dan butun fazo bo’yicha olingan integralni chekli bo’lishini talab qiladi, chunki zarra har qanday holda hamfazoning biror sohasida mavjud, ya’ni boshqacha aytganda fazoda zarra albatta bor. Agar fazoning elementi dV desak, quyidagi integral

bo’lsa, u holda ushbu ifoda zarra hech qaerda yo’q degan ma’noni anglatadi. Aksincha integral

ko’rinishda bo’lsa, zarra bir vaqtning o’zida fazoning hamma erida (qismida) mavjud degan ma’noni beradi. Bu hol, albatta haqiqatdan yiroq. ning ta’rifiga ko’ra uning qiymatlari mavhum va manfiy bo’lmasligi kerak. shuning uchun ham dan butun fazo bo’yicha olingan integral chekli bo’lishi lozim. Bu degani zarra berilgan vaqt momentida fazoning biror nuqtasida mavjud.

Agar ning qiymatini berilgan vaqt momentida fazoning berilgan nuqtasida -funkstiya tavsiflovchi zarraning qayd qilinishi ehtimoliga teng deb qarasak, u holda butun butun fazo bo’yicha dan olingan integral

(13.23)

bo’lishi kerak. Matematik nuqatai nazardan qaraganda butun fazo bo’ylab zarraning qayd qilinishi ehtimoli birga teng, boshqacha aytganda voqeaning sodir bo’lishi aniqdir. (13.23) munosabatga bo’ysunuvchi to’lqin funkstiya normallangan to’lqin funkstiya deyiladi. Fazoning har bir nuqtasida zarraning qayd qilinishi ehtimoli aniq bir qiymatga ega bo’lishi uchun to’lqin funkstiya ham normallanuvchi, ham bir qiymatli bo’lishi zarur. Shuningdek, to’lqin funkstiya va uning xossalari fazoning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lishi shart.

Shunday qilib -to’lqin funkstiya (13.16) differenstial tenglamaning echimidir, -ifoda esa nuqtada zarraning qayd qilinishi ehtimolining zichligi. Boshqacha aytganda ifoda hamisha zarraning qayd qilinishi ehtimolini xarakterlaydi. Yuqoridagi mulohazalardan bu bandning yakunida shuni aytamiz: to’lqin funkstiya uzluksiz, bir qiymatli chekli bo’lishi Shryodinger tenglamasining to’g`ri echimiga olib keladi. To’lqin funkstiya doimiy ko’paytuvchiga ega bo’lgan aniqlikda topiladi, ya’ni bir-biridan doimiy ko’paytuvchiga farq qilgan ikkita to’lqin funkstiya faqat bitta holatni tavsiflaydi. Shu sababdan ham to’lqin funkstiya birga normallanadi. Sistemaning turli holatlari orasida munosabat mavjud bo’lib u yangi holatni qo’shish, provardida to’lqin funkstiyani doimiy ko’paytuvchiga ko’paytirishga olib keladi va demak, yana shu holatning o’zi hosil bo’ladi.