7-mavzu: Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar.
Teorema. Bir jinslimas differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror xususiy yechimi va ning bir jinsli tenglamasi umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
|
Misol. 1) tenglamaning xususiy echimini toping.
Ushbu holda . Xarakteristik tenglama
bo'lib, uning ildizlari 2 va 4 ga teng. .
Tenglamaning xususiy echimini ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:
ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va ga qisqartirilgandan so`ng:
yoki
Mos koeffitsientlarni tenglab, natijani olamiz. Izlanayotgan xususiy echim:
Tenglamaning umumiy echimi
Misol. 2) tenglamaning xususiy echimini toping.
Xarakteristik tenglamani echamiz.
. Bizning holatda va bo'lib, xarakteristik tenglamaning ildizi emas. Demak, xususiy echim quyidagicha qidiriladi
.
Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:
.
ifodalarni tenglamaga qo`yamiz va soddalashtiramiz
Yoki .
Bundan
yoki . Xususiy echim
Demak, umumiy echim ,
bu erda va ixtiyoriy o'zgarmas sonlar.
Izoh. Agar o`zgarmas koeffitsientli tartibli chiziqli
differentsial tenglama o`rganilayotgan bo`lsa, uning ymumiy echimini qurish uchun
xarakteristik tenglamadan foydalaniladi. Xususiy echimni topish usuli ikkkinchi tartibli tenglama holidagi bilan bir xil.
Misol 3:
o`ng tomonini 0 ga tenglab yechamiz.
,
Karrali ildiz bo`lganligi uchun yechim quyidagi ko`rinishda bo`ladi.
o`ng tomon yechimini quyidagidan topamiz,
ikki marta hosila olamiz va tenglamaga qo`yamiz.
Bu tenglamani yechib,
ga qo`yamiz.
Yakuniy javobi quyidagicha bo`ladi.
Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalardan variantlar.
Dostları ilə paylaş: | 
