Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tartibli differensial tenglamalar (X) + (X) + (X)y=b(X) (1) (X) +

Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tartibli differensial tenglamalar
(x) + (x) + (x)y=b(x) (1)
(x) + (x) + (x)y=0 (2)
differensial tenglama berilgan.
Teorema.Agar (x) (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi, (x) esa unga mos bir jinsli (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’lsa,u holda
y= (x)+ (x) (9)
funksiya (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra (x) funksiya (1) differensial tenlamaning yechimi bo’lganligi uchun
(x) + (x) + (x) b(x) (10)
bo’ladi. (x) funksiya (2) differensial tenglamaning yechimi bo’lganligi uchun
(x) + (x) + (x) (x) 0 (11)
Agar hosil qilingan ayniyatlarni bir biriga qo’shsak,quyidagini hosil qilamiz:
(x) + (x) + (x)[ (x)+ (x)] b(x)
yoki
(x) + (x) + (x) ]+[ (x) + (x) + (x) (x)] b(x)
va (11) ga asosan y= (x)+ (x) funksiyaning (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Endi bu yechimning umumiy yechim ekanligini uchun,undan
y = , = (7)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yagona xususiy yechim ajratish mumkinligini ko’rsatish yetarli.
(x) va (x) lar (2) bir jinsli differensial tenglamaning xususiy yechmlari bo’lib,ular fundamental sistema tashkil qilsin. U holda
= (x)+ (x) va y(x)= (x)+ (x) (12)
Faraz qilaylik, y= funksiya (2) differensial tenlamaning (7) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi biror yechimi bo’lsin.Uni (12) yechimdan ni mos holda tanlab olish bilan hosil qilish mumkinligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, y(x)= (x)+ (x) va
(x)+ (x)+ (x) bo’lganligi uchun,ularni (7) boshlang’ich shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan

Sistemani hosil qilamiz.Bu sistemaning asosiy determinanti

Bo’lgani uchun,u yagona va yechimga ega.
Hosil qilingan xususiy yechim yagonalik teoremasiga muvofiq y= yechim bilan bir xil bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.