Bir o’zgaruvchili ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadni qoldiqli bo’lish Reja

Bir o’zgaruvchili ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadni qoldiqli bo’lish


Reja:

1.Bir o’zgaruvchili ko’phadlarni bo’lish

2.Ko’phadni qoldiqli bo’lish
3.Ratsional kasrlarni kanonik shaklga keltirish
4.Qoldiqli bo’lish haqida teorema va isboti.

1-ta'rif. Harflar yoki raqamlar bilan belgilangan sonlardan beshta amal (qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish va darajaga bo’tarish) vositasi bilan tuzilgan ifoda ratsional algebraik ifoda deyiladi.

2-ta’rif. Agar ratsional ifoda ichida harf argumentli ifodaga bo’lish amali bo’lmasa, u butun ifoda yoki ko’phad deyiladi.
Masalan: _{   }; _{ }
f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ , (1)
bu yerda a_n,a_n-1,…,a₂,a₁,a₀ berilgan haqiqiy sonlar bo’lib, koeffitsientlar deb ataladi, n esa berilgan natural sondir.
Agar a_n ≠0 bo’lsa, n ko’phadning darajasi deyiladi.
Bunday holda (1) n-darajali bir o’zgaruvchili ko’phad deyiladi.
1-ta’rif. Berilgan f(x) va g(x) ko’phadlar uchun f(x)=g(x)q(x) tenglikni qanoatlantiruvchi q(x) ko’phadni topish mumkin bo’lsa, bunday holda f(x) ko’phad g(x) ko’phadga qoldiqsiz bo’linadi deyiladi. g(x) ko’phad f(x) ko’phadning bo’linuvchisi deyiladi.
Misol. a) x³-1=(x-1)(x²+x+1)
b) x³+1 =(x+1)(x²-x+1)
d) x-1;x+1; x³ -x²+x+1; x²-1 ko’phadlar x⁴-1 ko’phadning bo’luvchilaridir. Chunki x⁴-1 had ularning har biriga bo’linadi:
x⁴-1=(x-1)(x³+x²+x+1);
x⁴-1=(x+1)(x³-x²+x-1);
x⁴-1=(x²-1)(x²+1).
2-tarif. Agar istalgan f(x) va g(x) ko’phad uchun shunday q(x) va r(x) ko’phadalarni topish mumkin bo’lib, f(x)=g(x)q(x)+r(x) tenglik bajarilsa, bunday holda f(x) ko’phad g(x) ko’phadga qoldiqli bo’linadi deyiladi.
2-misol. f(x) 2x⁴-3x³+4x²-5x+6 ko’phadni g(x)=x²-3x+1 ko’phadga bo’lganda hosil bo’ladigan q(x) bo’linma ko’phad va r(x) qoldiq ko’phadni toping.
Yechish. f(x) ko’phadni g(x) ko’phadga to’g’ridan - to’g’ri bo’lamiz:


2x⁴-3x³+4x²-5x+6 x²-3x+1
2x⁴-6x³+2x² 2x²+3x+11
3x³+2x²-5x+6
3x³-9x²+3x

11x²-8x+6
11x²-33x+11
25x-5
Demak, q(x)= 2x²+3x+11 , r(x)= 25x-5.
Agar f(x) ni g(x) ga bo’lganda r(x) qoldiq nolga teng bo’lsa, u holda g(x) ko’phadni f(x) ko’phadning bo’luvchisi deyiladi.
Ratsional kasr ifodaning eng sodda ko’rinishi ikkita ko’phadning nisbatan (bo’linmasidan) iborat bo’ladi.
Ta’rif . Ikkita P_n(x) va Q_m(x) ko’phadning _{ }nisbati algebraik yoki ratsional kasr deyiladi. P_n(x) ko’phad ratsional kasrning surati, Q_m(x) ko’phad esa maxraji deyiladi.
shu bilan birga, maxrajda turgan ko’phad nol-ko’phad bo’lmasligi kerak.
Agar P_n(x) va Q_m(x) ko’phadlar
P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n,
Q_m(x) = b₀x^m + b₁x^m-1 +…+ b_m-1x + b_m
Kanonik ko’rinishda berilgan bo’lsa, u holda ratsional kasr ifoda ham
_{ } (1)
kanonik ko’rinoshni oladi. Agar n≥m bo’lsa, u holda ratsional kasr noto’g’ri, nMasalan, _{  } kasrlar to’g’ri, _{ }noto’g’ri kasrlardir.
(1) ifodada n≥m bo’lganda P_n(x) ko’phadni Q_m(x) ko’phadga bo’lish bilan butun qismi ajratiladi. Aytaylik, P_n(x) ko’phadni Q_m(x) ko’phadga bo’lganda S_n-m(x) bo’linma ko’phadga va R_k(x) (kn(x)= Q_m(x) S_n-m(x) + R_k(x) tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikning ikkala qismini Q_m(x) ga bo’lib, quyidagiga ega bo’lamiz:
_{ }
bu yerda _{ }to’g’ri kasr bo’lib, _{ }ko’phad esa _{ }kasrning butun qismideyiladi.
1-m i s o l: _{ }kasrning butun qismini ajrating.
Y e c h i s h. Kasrning suratidagi ko’phadni maxrajida turgan ko’phadga bo’lamiz:

-x⁴ + 2x³ +1 x² + 2x + 3
x⁴ + 2x³+ 3x² x² –3

-3x² + 1
-3x² -6x – 9
6x +10

Demak, x⁴ + 2x³ +1 = (x²+ 2x + 3) (x²-3) + 6x + 10,

_{ }= x² – 3 + _{ }
bunda x² –3 ko’phad _{ } kasrning butun qismi bo’ladi.
Ratsional kasrlar orasidagi munosabatlar ham ularning aniqlanish sohasi bilan uzviy bog’liqdir.
_{ }ratsional kasrning maxrajidagi Q_m(x) ko’phadning qiymatlarini nolga aylantirmaydigan x ning qiymatlari to’plami bu ratsional kasrning aniqlanish sohasi deyiladi.
Masalan, _{ }kasr barcha butun sonlar to’plamida aniqlangan bo’lib, ratsional sonlar to’plamida esa faqat x = _{ }nuqtada aniqlanmagan.
2 – m i s o l. Quyidagi kasr ifodalarni qisqartiring:
1) _{ }
Y e c h i s h.har bir kasrning surat va maxrajini ko’paytuvchilarga ajratamiz:
1) _{ }
2) _{ }
3) _{ }
Tayanch iboralar:
ko’phad, qoldiqli bo’lish, bo’linma, qoldiq, bo’luvchi
Nazorat savollari:
1. n - darajali bir o’zgaruvchili ko’phad ta’rifi?
2. Ko’phadlarni bo’lish deb nimaga aytiladi?
3. Qoldiqli bo’lish ta’rifi?
Topshiriqlar
Misollar: 1)f(x)=2x⁴-3x³+4x²-5x+6 ko’phadni g(x)=x²-3x+1 ko’phadga bo’lganda hosil bo’ladigan q(x) bo’linma ko’phad va r(x) qoldiq ko’phadni toping.
2) P(x)=x¹⁰⁰-3x+2 ko’phad D(x)=x-1 ko’phadga bo’linadimi.
P(x) ko’phadni D(x) ko’phadga qoldiqli bo’ling
1. P(x)= x⁴+2x³+1; D(x)= x²+2x+3
2. P(x)= x³-x²-1; D(x)= x-1
3. P(x)= 4x⁴-2x³+3x-6; D(x)= 4x³-2x+8
4. P(x)= x⁶+2x³-x²+3x+6; D(x)= x⁵-2x³+5

5. 
   Теоrema. А- butunlik sohasi va g esa A[x] dagi bosh koeffisienti А da teskarilanuvchi bo`lgan ko`phad bo`lsin. U holda har bir fAx da shunday yagona juft q r  Ax ko`phadlar mos qo`yiladiki, ular uchun
   

f = q g + r degr < degg (1)