Determinantların hesablanması. Matrisin ranqı

Determinantların hesablanması. Matrisin ranqı

İkitərtibli matrisinin elementlərindən düzəldilmiş fərqinə ikitərtibli determinant və ya verilmiş matrisin determinantı deyilir və kimi simvollardan biri ilə işarə edilir. Tərifə əsasən yaza bilərik.

elementlərinə determinantın baş diaqonal, elementlərinə isə yan diaqonal elementləri deyilir. İkitərtibli matrisinin determinantını hesablamaq üçün baş diaqonal elementlərinin hasilindən yan diaqonal elementlərinin hasilini çıxmaq lazımdır.

Məsələn,

Üçtərtibli matrisinin elementlərindən düzəldilmiş

ifadəsinə üçtərtibli determinant deyilir və kimi işarə olunur. Tərifə əsasən

yaza bilərik. Bu qayda üçtərtibli determinantları hesablamaq üçün üçbucaq qaydası adlanır. Məsələn,

Üçtərtibli determinantın hesablanma qaydasını yadda saxlamaq üçün aşağıdakı Sarryus üsulundan istifadə etmək daha asan olur. Bunun üçün üçtərtibli determinantın elementləri yanina birinci iki sütun elementlərini sağdan əlavə yazsaq, müsbət işarəli

və mənfi işarəli ifadələrin qiymətlərini isə aşağıdakı sxemdən istifadə edərək hesablamaq olar:

Buradan görünür ki, üstlərindən düz xətlər çəkilmiş elementlərin mümkün hasilləri bu düz xətlər baş diaqnola paralel götürüldükdə determinantın açılışında müsbət işarəli, yan diaqnola paralel olduqda isə mənfi işarəli hədləri verir.

Tutaqki, ölçülü

matrisi verilmişdir. Bu matrisin şərtini ödəyən ixtiyarı k sayda sətri ilə k sayda sütununun kəsişməsində duran elementlərindən düzəldilmiş k tərtibli determinanta A matrisinin k tərtibli minoru deyilir.

Məsələn, kimi ölçülü düzbucaqlı A matrisinin üçtərtibli bir minorunu yazaq:

Burada M-in indeksləri uyğun olaraq matrisdə seçilmiş sətir və sütunların nömrələridir. Göründüyü kimi matrisinin müxtəlif tərtibli minorları çoxdur. Biz burada onun ancaq üçtərtibli bir minorunu yazdıq.

Tərif. A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksəktərtibli minorunun tərtibinə bu matrisin ranqı deyilir.

A matrisinin ranqı, kimi işarə olunur və bərabərsizliyini ödəyir.

Qeyd etmək lazımdır ki, matrisin ranqı r-ə bərabərdirsə, onda bu matrisin tərtibi r-dən böyük olan bütün minorları sıfra bərabərdir.

Tərif. Ranqı r-ə bərabər olan matrisinin sıfırdan fərqli ixtiyarı tərtibli minoru bu matrisin bazis minoru adlanır.

Teorem. Bazis sətirləri (sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin istənilən sətri (sütunu) onun bazis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasıdır.

Tərif. Matrisin xətti asılı olmayan sətrlərinin (sütunlarının) maksimal sayına matrisin ranqı deyilir. Matrisin ranqını hesablamaq üçün üç üsuldan istifadə edirlər.

Birinci üsulda tərifdən istifadə edərək seçmə yolu ilə matrisin sıfırdan fərqli ən yüksəktərtibli minoru tapılır. Lakin bu üsuldan istifadə etmək xeyli vaxt tələb edə bilər.