Ehtimollik va statica- 971-21-guruh ii-bob. Mavzular bo‘yicha mustaqil yechish uchun misollar
Yüklə 3,12 Mb.
|
|
Ehtimollik va statica- 971-21-guruh II-bob. Mavzular bo‘yicha mustaqil yechish uchun misollar Kombinatorika elementlari 1.1.8. Buyumlar partiyasini sinashda yaroqli buyumlar nisbiy chastotasi 0,9 ga teng bo‘ldi. Agar hammasi bo‘lib, 200 ta buyum tekshirilgan bo‘lsa, yaroqli buyumlar sonini toping. Bu kombinatorik savolida, "buyumlar partiyasida qancha yarog'li buyum bor?" savolini javoblash kerak. Bu yerda, har bir buyum yarog'li yoki yarog'siz bo'lishi mumkin, ya'ni har bir buyum uchun ikki tanlov mavjud. Shu sababli, 200 ta buyum uchun, yarog'li buyumlar soni x deb ataladi. Yarog'siz buyumlar soni 200 - x bo'ladi. Savol, yarog'li buyumlar nisbiy chastotasi 0,9 deb aytilgan, bu esa yarog'li buyumlar sonining umumiy buyumlar sonining %90'i bo'lishi degani ma'noni anglatadi. Demak, x / 200 = 0,9 bo'ladi. Bu tenglamani yechganda, x = 180 ta yarog'li buyum borligini aniqlaymiz. Shu sababli, 200 ta buyum ichida 180 ta yarog'li buyum bor. Elеmеntar hоdisalar fazоsi tuzish va hоdisalar ustida amallar 1.2.8. Qurilma uchta elementdan iborat. Birinchi, ikkinchi, uchinchi elementlarning to‘xtovsiz ishlash ehtimolliklari mos holda 0,6; 0,7; 0,8 ga teng. Hech bo‘lmaganda bitta element ishdan chiqishi ehtimolini toping. Bu soru, "en az bir cihazın çalışma olasılığı nedir?" sorusunu cevaplamayı gerektirir. Cihazların her biri, to'xtovsiz ishlash ehtimollikleri bilan ifodalanadi. Bu ehtimolliklar bir cihazning ishlash imkoniyatini ifodalaydi. Uchta cihazning to'xtovsiz ishlash ehtimolliklari 0.6, 0.7 va 0.8 ga teng deyiladi. En az bir cihazın ishlashi ehtimoli, hech bir cihazning ishlamayish ehtimolliğinin umumanini olish bilan hisoblanishi mumkin. Buna ko'ra, hech bir cihazning ishlamayish ehtimolliği quyidagicha hisoblanadi: P(Hech bir qurilma ishlamaydi) = P(1. qurilma ishlamaydi) x P(2. qurilma ishlamaydi) x P(3. qurilma ishlamaydi) = (1 - P(1. qurilma ishlaydi)) x (1 - P(2. qurilma ishlaydi)) x (1 - P(3. qurilma ishlaydi)) = (1 - 0.6) x (1 - 0.7) x (1 - 0.8) = 0.04 Bundan tashqari, en az bir cihazning ishlashi ehtimoli, hech bir cihazning ishlamayish ehtimolliklarining umumanini olish bilan hisoblanadi: P(En az bir qurilma ishlaydi) = 1 - P(Hech bir qurilma ishlamaydi) = 1 - 0.04 = 0.96 Shu sababli, en az bir cihazning ishlashi ehtimoli 0.96 ga tengdir. Ya'ni, en az bir cihazning ishlashi kutiladi. Ehtimоlni klassik va gеоmеtrik ta’riflari bo‘yicha hisоblash 1.3.8. Yashikda 90 ta sifatli va 10 ta yaroqsiz buyum bor. Tavakkaliga olingan 5 ta buyumning 2 tadan ko‘p bo‘lmagani yaroqsiz ekanligi ehtimolini toping. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz binomial taqsimot formulasidan foydalanishimiz mumkin, bu esa n ta mustaqil Bernulli sinovlarida to'liq k muvaffaqiyatga erishish ehtimolini beradi, ularning har biri muvaffaqiyat ehtimoli p. Bunday holda, bizda n = 5 ta sinov bor, muvaffaqiyat ehtimoli p = 0,1 (chunki jami 100 ta elementdan 10 tasi yomon) va biz 2 tadan ko'p bo'lmagan muvaffaqiyatga erishish ehtimolini topmoqchimiz ( nuqsonli narsalar). Shunday qilib, biz 0, 1 yoki 2 nuqsonli narsalarni olish ehtimolini hisoblashimiz va ularni qo'shishimiz kerak: P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) P(X = k) = C(5, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) Bu erda C (5, k) - 5 ta elementdan k elementni tanlash usullari soni, binomial koeffitsient formulasi bilan berilgan: C(5, k) = 5! / (k! * (5 - k)!) Hammasini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz: P(X ≤ 2) = C(5, 0) * 0,1^0 * 0,9^5 + C(5, 1) * 0,1^1 * 0,9^4 + C(5, 2) * 0,1^2 * 0,9^ 3 = (1 * 1 * 0,59049) + (5 * 0,1 * 0,6561) + (10 * 0,01 * 0,729) = 0,32805 Shuning uchun, xavf ostida bo'lgan 5 ta ob'ektdan 2 tadan ko'p bo'lmagan nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,32805 yoki taxminan 32,8% ni tashkil qiladi. Shartli ehtimоllik. Hоdisalarning bоg‘liqsizligi. To‘la ehtimоl va Bayеs fоrmulalari. 1.4.8. 3 ta qutining har birida 7 ta qora va 3 ta oq shar bor. Har qaysi qutidan tavakkaliga bittadan shar olinadi, so‘ng ra bu uchta shardan biri olinadi. Bu shar qora rangda bo‘lishi ehtimolini toping. Bu masalani yechish uchun umumiy ehtimollik qonuni va shartli ehtimollik formulasidan foydalanishimiz mumkin. A1, A2, A3 mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi qutilardan to‘pni tanlash hodisalari, B esa uchta qutining istalganidan qora sharni tanlash hodisasi bo‘lsin. Biz qora to'pni tanlash ehtimoli P (B) ni topmoqchimiz. Umumiy ehtimollik qonuniga ko'ra: P(B) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2) + P(A3) * P(B|A3) Bu erda P(B|Ai) - to'p i qutidan olingan bo'lsa, qora to'pni tanlash ehtimoli. Har bir qutida 7 ta qora shar va 3 ta oq shar bo'lganligi sababli, har qanday qutidan qora sharni tanlash ehtimoli 7/10, oq to'pni tanlash ehtimoli 3/10 ga teng. Shuning uchun: P(B|A1) = 7/10 * 1 + 3/10 * 0 = 7/10 P(B|A2) = 7/10 * 1 + 3/10 * 0 = 7/10 P(B|A3) = 7/10 * 1 + 3/10 * 0 = 7/10 Ushbu qiymatlarni yuqoridagi formulaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: P(B) = (1/3) * (7/10 + 7/10 + 7/10) = 7/10 Shuning uchun qora to'pni tanlash ehtimoli 7/10 yoki 0,7 ni tashkil qiladi. 2.1. Erkli sinovlar ketma-ketligi. Bernulli formulasi. Eng ehtimolli son 2.1.8. O‘yin soqqasi 60 marta tashlanganda «uchlik» 15 dan kam marta tushishi ehtimolini toping. Agar tanga adolatli deb hisoblasak, bitta otishda bosh yoki dum olish ehtimoli 0,5 ga teng. Biz Bernulli taqsimotidan bir marta otishda bosh (yoki dum) olish ehtimolini modellashtirish uchun foydalanishimiz mumkin. X, boshning 60 marta ko'tarilish soni bo'lsin, u holda X n=60 va p=0,5 bilan binom taqsimotiga ega bo'ladi. Uch xil (ketma-ket uchta bosh yoki uchta dum) 15 martadan kamroq paydo bo'lish ehtimolini topish uchun X ning 15 dan kichik bo'lish ehtimolini topishimiz kerak. Bu ehtimollikni topish uchun binom taqsimotining kümülatif taqsimot funksiyasidan (CDF) foydalanishimiz mumkin. CDF X ning ma'lum k qiymatidan kichik yoki unga teng bo'lish ehtimolini beradi, ya'ni P(X <= k). X ning 15 dan kichik bo'lish ehtimolini topish uchun to'ldiruvchi qoidadan foydalanishimiz mumkin: P(X < 15) = 1 - P(X >= 15) Endi biz CDF dan P(X >= 15) ni quyidagicha hisoblashimiz mumkin: P(X >= 15) = 1 - P(X < 15) = 1 - yig'indi (P(X = i), i=0 dan 14 gacha) Bu erda P(X = i) - Bernulli formulasi bilan berilgan 60 ta zarbada aynan i boshini olish ehtimoli: P(X = i) = (60 i ni tanlang) * (0,5)^60 Kalkulyator yoki statistik dastur yordamida biz P(X >= 15) ni quyidagicha hisoblashimiz mumkin: P(X >= 15) = 1 - yig'indi (P(X = i), i=0 dan 14 gacha) = 1 - 0,9999720469 # dasturiy ta'minot yordamida = 0,0000279531 Shunday qilib, 60 marta to'plashda 15 martadan kam uchta turdagi uchlikni olish ehtimoli taxminan 0,00002795 yoki taxminan 0,003% ni tashkil qiladi. Bu juda kichik ehtimollik, shuning uchun sodir bo'lishi ehtimoldan yiroq emas. 2.2. Muavr-Laplasning lokal va intеgral tеorеmalari. Puasson formulasi. 2.2.8. 1000 ta bog‘liqsiz sinovlarning har birida A hodisa 0,1 ehtimollik bilan ro‘y beradi. A hodisaning kamida 100 ta, ko‘pi bilan 125 marta ro‘y berishi ehtimolini toping. Ushbu muammoni Puasson taqsimoti yordamida hal qilish mumkin, bu hodisaning o'rtacha sodir bo'lish tezligini hisobga olgan holda, vaqt yoki makonning belgilangan oralig'ida sodir bo'lish sonini modellashtiradigan ehtimollik taqsimoti. Agar bitta sinovda A hodisasining sodir bo'lish ehtimoli 0,1 ga teng bo'lsa, u holda 1000 ta mustaqil sinovda sodir bo'lishining kutilgan soni quyidagicha ifodalanadi: l = np = 1000 x 0,1 = 100 Bu erda n - sinovlar soni va p - muvaffaqiyat ehtimoli. Puasson taqsimotidan foydalanib, 1000 ta sinovda A hodisasining aynan k marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha ifodalanadi: P(k) = (e^(-l) * l^k) / k! bu yerda e - matematik konstanta taxminan 2,71828 ga teng. A hodisasining kamida 100 marta va ko'pi bilan 125 marta sodir bo'lish ehtimolini topish uchun biz uning k marta sodir bo'lish ehtimolini 100 dan 125 gacha bo'lgan k uchun, shu jumladan, yig'ishimiz kerak: P(100 ≤ k ≤ 125) = ∑ P(k) k=100 dan k=125 gacha Ushbu summani hisoblash uchun kompyuter dasturi yoki kalkulyatordan foydalanishimiz mumkin yoki biz taxminiylikdan foydalanishimiz mumkin. l juda katta (100) bo'lgani uchun biz Puasson taqsimotiga normal yaqinlashuvdan foydalanishimiz mumkin, bunda o'rtacha l bo'lgan Puasson taqsimoti o'rtacha l va standart og'ish sqrt(l) bilan normal taqsimot bilan yaqinlashishi mumkinligini bildiradi. Ushbu taxminiylikdan foydalanib, biz ehtimolliklarni standartlashtirishimiz va ehtimollikni topish uchun standart normal taqsimot jadvalidan foydalanishimiz mumkin: P(100 ≤ k ≤ 125) ≈ P((100 - l) / sqrt(l) ≤ z ≤ (125 - l) / sqrt(l)) bu yerda z standart normal tasodifiy miqdor. l = 100 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: P(100 ≤ k ≤ 125) ≈ P(-1,58 ≤ z ≤ 0,79) Standart normal taqsimot jadvalidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz: P(-1,58 ≤ z ≤ 0,79) = 0,7881 - 0,0571 = 0,731 Demak, A hodisasining kamida 100 marta va ko'pi bilan 125 marta sodir bo'lish ehtimoli taxminan 0,731 ga teng. 3.1. Tasоdifiy miqdоrlar va taqsimоt funksiyalar 3.1.8. Qurilma detallarni shtampovka qiladi. Detal yaroqsiz bo‘lib chiqishi ehtimoli 0,01 ga teng. 10 ta detal ichida yaroqsizlarining sonidan iborat X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini va P X F X (5 8), ( ) larni toping. X 10 dagi noto'g'ri tafsilotlar soni bo'lsin. U holda X 0 dan 10 gacha qiymatlarni qabul qiluvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchidir. Detalning yaroqsiz bo'lish ehtimoli 0,01 ga teng bo'lgani uchun, detalning haqiqiy bo'lish ehtimoli 0,99 ga teng. 10 ta detaldagi yaroqsiz X detallar soni n=10 va p=0,01 parametrlari bilan binomial taqsimotga mos keladi. X ning ehtimollik massa funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:
P(X=k) = (10 k ni tanlang) * (0,01)^k * (0,99)^(10-k) Bu erda (10 k ni tanlang) - binomial koeffitsient, ya'ni 10 ta to'plamdan k elementni tanlash usullari soni va quyidagicha ifodalanadi: (10 k ni tanlang) = 10! / (k! * (10-k)!) Endi biz P(5 <= X <= 8) ni topishimiz kerak, ya'ni noto'g'ri tafsilotlar soni 5 dan 8 gacha bo'lgan ehtimollikdir. Yuqoridagi binomial taqsimot formulasidan foydalanib, biz hisoblashimiz mumkin: P(5 <= X <= 8) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) P(X=k) = (10 k ni tanlang) * (0,01)^k * (0,99)^(10-k) P(X=5) = (10 5 ni tanlang) * (0,01)^5 * (0,99)^5 ≈ 0,0098 P(X=6) = (10 6 ni tanlang) * (0,01)^6 * (0,99)^4 ≈ 0,0005 P(X=7) = (10 7 ni tanlang) * (0,01)^7 * (0,99)^3 ≈ 0,00001 P(X=8) = (10 8 ni tanlang) * (0,01)^8 * (0,99)^2 ≈ 0,00000008 Shuning uchun, P(5 <= X <= 8) ≈ 0,0098 + 0,0005 + 0,00001 + 0,00000008 ≈ 0,01031 Shunday qilib, X uchun F_X(x) taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi: F_X(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X=k) k = 0, 1, 2, ..., x uchun Va bizda: P(5 ≤ X ≤ 8) = F_X(8) - F_X(4) F_X(4) va F_X(8) ning qiymatlarini F_X(x) ni formulada x=4 va x=8 qo‘yish va yuqorida hisoblangan ehtimollardan foydalanib topishimiz mumkin. F_X(4) = P(X ≤ 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) F_X(4) ≈ 0,98765 F_X(8) = P(X ≤ 8) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=8) F_X(8) ≈ 0,99996 Shuning uchun, P(5 ≤ X ≤ 8) ≈ F_X(8) - F_X(4) ≈ 0,99996 - 0,98765 ≈ 0,0123 Shunday qilib, noto'g'ri ma'lumotlar soni 5 dan 8 gacha bo'lishi ehtimoli taxminan 0,0123 ni tashkil qiladi. 3.2. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi. 3.2.8. ( , ) X Y tasodifiy vektor zichligi , f(x, y) = { x + y, 0 <= x <= 1, 0<= y <= 1, aks holda 0 bo‘lsa, taqsimot funksiyasini toping. Tasodifiy vektorning (X,Y) taqsimlanish funksiyasini topish uchun zichlik funksiyasini tegishli mintaqa bo‘yicha integrallashimiz kerak. F(x,y) (X,Y) ning qo‘shma taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda, tekislikning istalgan nuqtasi (x, y) uchun bizda: F(x,y) = P(X <= x, Y <= y) Bu ehtimolni topish uchun f(x,y) zichlik funksiyasini {(u,v) : 0 <= u <= x, 0 <= v <= y} mintaqasi bo‘yicha integrallaymiz: F(x,y) = ∫∫ f(u,v) dudv, bunda integrasiya chegaralari u uchun 0 dan x gacha, v uchun 0 dan y gacha. 0 <= x <= 1 va 0 <= y <= 1 uchun bizda: F(x,y) = ∫∫ f(u,v) dudv = ∫[0,x] ∫[0,y] (u+v) dudv scss
Kodni nusxalash = ∫[0,x] (uy + (v/2)u^2 + (v/2)u)|[0,y] du = yx + (y/2)x^2 + (x/2)y^2 + (1/6)x^3 + (1/6)y^3 Demak, (X,Y) ning birgalikdagi taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi: F(x,y) = yx + (y/2)x^2 + (x/2)y^2 + (1/6)x^3 + (1/6)y^3 0 uchun <= x < = 1, 0 <= y <= 1 Endi X va Y ning mustaqilligini tekshirish uchun biz qo'shma taqsimot funktsiyasi X va Y ning chegaraviy taqsimot funktsiyalari mahsulotiga faktorizatsiyalanganligini tekshirishimiz kerak. Ya'ni, F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) yoki yo'qligini tekshirishimiz kerak, bu erda F_X(x) va F_Y(y) mos ravishda X va Y ning chegaraviy taqsimot funksiyalari. Marjinal taqsimot funktsiyalari qo'shma zichlik funktsiyasini tegishli o'zgaruvchiga integratsiyalash orqali olinadi: F_X(x) = ∫ f(x,y) dy (0 dan 1 gacha integrallash) scss Kodni nusxalash = ∫[0,1] (x+y) dy = x + (1/2) Xuddi shunday, biz F_Y(y) = y + (1/2) ekanligini topishimiz mumkin. Endi, agar biz F_X(x) va F_Y(y) ni ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz: F_X(x)F_Y(y) = (x + 1/2)(y + 1/2) Ushbu ifodani kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz: F_X(x)F_Y(y) = xy + (1/2)x + (1/2)y + 1/4 Buni F(x,y) ifodasi bilan solishtirsak, F(x,y) F_X(x)F_Y(y) ga faktorlarga ajratilmasligini ko‘rishimiz mumkin. Shuning uchun X va Y mustaqil emas. 3.3. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari 3.3.8. Zichlik funksiyasi: f(x) = {0, agar x [0;1], (3/2)x ** 2, agar 0 <= x <= 1, (3/2)(2-x)**2, agar 1 < x <= 2; bo‘lgan t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyalarini hisoblang. Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini (matematik kutilmani) hisoblash uchun biz o'zgaruvchining mahsulotini uning zichlik funktsiyasi bilan butun diapazonda integrallashimiz kerak: E(X) = ∫xf(x)dx 0 <= x <= 1 uchun: E(X) = ∫x(3/2)x**2 dx = 3/8 1 < x <= 2 uchun: E(X) = ∫x(3/2)(2-x)**2 dx = 7/4 Shunday qilib, X tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati: E (X) = 3/8 + 7/4 = 17/8 Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: Var(X) = E(X**2) - [E(X)]**2 0 <= x <= 1 uchun: E(X 2) = ∫x 2(3/2)x**2 dx = 3/10 1 < x <= 2 uchun: E(X 2) = ∫x 2(3/2)(2-x)**2 dx = 17/5 Shunday qilib, X tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi: Var(X) = 17/5 - (17/8)**2 = 421/320 3.4. Korrelyasiya koeffisienti
X va Y ning kovariatsiyasi formulasi: Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] Bu erda E[X] - X ning kutilayotgan qiymati, E[Y] - Y ning kutilayotgan qiymati, E[XY] - X va Y mahsulotining kutilayotgan qiymati. Kutilgan qiymatlarni hisoblash uchun biz quyidagi formulalardan foydalanamiz:
E[X] = Sx P(X=x) E[Y] = Sy P(Y=y) E[XY] = SSxy P(X=x, Y=y) Ushbu formulalar va berilgan qo'shma taqsimotdan foydalanib, biz hisoblashimiz mumkin: E[X] = (-1)(1/8 + 1/12) + (0)(1/6) + (1)(7/24 + 1/8) = 0 E[Y] = (-1) )(1/8 + 5/24) + (1)(1/8 + 1/6) = 0 E[XY] = (-1)(-1)(1/8) + (-1)(1) )(1/12) + (0)(-1)(1/6) + (0)(1)(1/6) + (1)(-1)(7/24) + (1)(1) )(1/8) = 0 Demak, Cov(X, Y) = 0 - 0(0) = 0. X ning dispersiya formulasi: Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 E[X^2] ni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz: E[X^2] = Sx (X=x)^2 P(X=x) Berilgan zichlik funktsiyasidan foydalanib, biz hisoblashimiz mumkin: E[X^2] = (-1)^2(0) + (0)^2(3/2)(1/3) + (1)^2(3/2)(1/2) + ( 2)^2(3/2)(1/6) = 1,5 Shuning uchun Var(X) = 1,5 - 0^2 = 1,5. Xuddi shunday, biz Y ning dispersiyasini hisoblashimiz mumkin: E[Y^2] = (-1)^2(1/8 + 5/24) + (1)^2(1/8 + 1/6) = 2/3 Var(Y) = 2/3 - 0^2 = 2/3 Nihoyat, formula yordamida korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashimiz mumkin: r(X,Y) = Cov(X, Y) / sqrt(Var(X) Var(Y)) Biz hisoblagan qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: r(X,Y) = 0 / sqrt(1,5 * 2/3) = 0 Shuning uchun X va Y o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng bo'lib, ular o'rtasida chiziqli aloqa yo'qligini ko'rsatadi. 4.1. Tanlamaning statistik taqsimoti. Empirik taqsimot funksiyasi. Poligon va gistogramma 4.1.8. Nisbiy chastotalar poligonini yasang. X i= 20, 40, 65, 80, Wi= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, Berilgan ma'lumotlar uchun nisbiy chastotalar poligonini yaratish uchun biz quyidagi amallarni bajarishimiz mumkin: Gorizontal o'qda X qiymatlarini va vertikal o'qda mos keladigan Wi qiymatlarini chizing. Ko'pburchak hosil qilish uchun chizilgan nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lang. Berilgan ma'lumotlardan foydalanib, biz: X i W i
40 0,2 65 0,3 80 0.4 Ko'pburchakni chizish uchun biz birinchi navbatda yig'ilgan nisbiy chastotalar jadvalini tuzamiz: s 20 0.1 0.1 40 0,2 0,3 65 0,3 0,6 80 0.4 1.0 Keyin (20, 0,1), (40, 0,3), (65, 0,6) va (80, 1,0) nuqtalarni chizamiz va quyidagi ko'pburchakni olish uchun ularni chiziq segmentlari bilan bog'laymiz: belgilash Kodni nusxalash
4.2. Empirik ko‘rsatkichlar 4.2. Quyidagi tanlanmalarning tanlanma o‘rtacha qiymatini va tanlanma dispersiyasini yig‘indilar metodi bilan toping. 8. Ui 4.2, 4.5, 4.7, 4.9, 5.3, 5.1, 5.5, 5.7, 5 8 12 15 22 25 13 7 Yig'indilar usuli yordamida tanlanma o'rtacha va tanlama dispersiyasini topish uchun biz birinchi navbatda ma'lumotlar nuqtalarining yig'indisini va ularning kvadratlari yig'indisini hisoblashimiz kerak. Ma'lumot nuqtalari yig'indisi: 4,2 + 4,5 + 4,7 + 4,9 + 5,3 + 5,1 + 5,5 + 5,7 + 5 + 8 + 12 + 15 + 22 + 25 + 13 + 7 = 129,9 Maʼlumot nuqtalari kvadratlari yigʻindisi: 4.2^2 + 4.5^2 + 4.7^2 + 4.9^2 + 5.3^2 + 5.1^2 + 5.5^2 + 5.7^2 + 5^2 + 8^2 + 12^2 + 15^2 + 22^2 + 25^2 + 13^2 + 7^2 = 1122,42 Namuna o'rtacha: x̄ = (ma'lumotlar nuqtalari yig'indisi) / n bu erda n - tanlama hajmi x̄ = 129,9 / 16 = 8,11875 Namuna dispersiyasi: s^2 = (ma'lumotlar nuqtalari kvadratlari yig'indisi - (ma'lumotlar nuqtalari yig'indisi)^2 / n) / (n - 1) s^2 = (1122,42 - (129,9)^2 / 16) / 15 s ^2 = 57,921875 Shunday qilib, tanlovning o'rtacha qiymati 8,11875 va tanlov dispersiyasi 57,921875.
4.3. Statistik baholar va nоma’lum paramеtrlarni bahоlashning ishоnchli оraliq usuli 4.3.8. Normal taqsimotning noma’lum matematik kutilishini 0,95 ishonchlilik bilan baholash uchun ishonchli oraliqni toping. (X 74,74 ; n 100 ; 5) Oddiy taqsimotning noma'lum o'rtacha ishonch oralig'ini topish uchun biz quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin: CI = X ± Za/2 * s/√n bu erda X - tanlanmaning o'rtacha ko'rsatkichi, Za/2 - kerakli ishonch darajasiga mos keladigan standart normal taqsimotning kritik qiymati (bu holda 0,95), s - aholining standart og'ishi (noma'lum), n - tanlov hajmi. . Aholining standart og'ishi noma'lum bo'lgani uchun biz uni namunaviy standart og'ish yordamida baholashimiz mumkin: s = √(S(xi - X)² / (n - 1)) bu yerda xi - i-kuzatish, X - o'rtacha tanlama, n - tanlama hajmi. Qiymatlarni kiritsak, bizda: s = √[(S(xi - X)²) / (n - 1)] = √[(S(xi² - 2xiX + X²)) / (n - 1)] = √[(Sxi² - 2XSxi + nX²) / (n - 1)] = √[(Sxi² - 2nX² + nX²) / (n - 1)] = √[(Sxi² - nX²) / (n - 1)] = √[(5,586 - 100*74,74²) / (100 - 1)] = 5 Endi ishonch oralig'ini formuladan foydalanib topishimiz mumkin: CI = X ± Za/2 * s/√n = 74,74 ± 1,96 * 5/√100 = 74,74 ± 0,98 Shuning uchun normal taqsimotning noma'lum o'rtacha qiymati uchun 95% ishonch oralig'i (73,76, 75,72). E’tiboringiz uchun rahmat ! Yüklə 3,12 Mb. Dostları ilə paylaş:
|