Fazoda vektorlar. Vektorlar ustida amallar. Reja

Fazoda vektorlar. Vektorlar ustida amallar.
Reja:

1. 
   Fazoda vektorlar.
   
2. 
   Vektorlar ustida amallar.
   

FAZODA VEKTORLAR.
Fazoda, tekislikdagi singari, vektor deb yo`naltirilgan kesmaga aytiladi. Fazoda vektorlar uchun asosiy tushunchalar: vektorning absolyut kattaligi (moduli), vektorning yo`nalishi, vektorlarning tengligi tekislikdagi singari ta`riflanadi.
Boshi A<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>; y<sub>1</sub>; z<sub>1</sub>) nuqtada va oxirida A<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>; y<sub>2</sub>; z<sub>2</sub>) nuqtada bo`lgan vektorning koordinatalari deb x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁ sonlarga aytiladi. Xuddi tekislikdagi singari teng vektorlarning mos koordinatalari teng ekani va aksincha, mos koordinatalari teng vektorlarning tengligi isbotlanadi. Bu esa vektorni uning koordinatalari bilan ifodalashga asos bo`ladi: yoki soddaroq .
Masala (50). To`rtta nuqta berilgan: A (2; 7; -3), B (;1 0; 3), C (-3; -4; 5),
D (-2,; 3; -1). va vektorlar orasidagi teng vektorlarni ko`rsating.
Yechilishi: ko`rsatilgan … vektorlar koordinatalarini topish va mos koordinatalarni taqqoslash kerak. Teng vektorlarning mos koordinatalari teng. Masalan, vektorning koordinatalari: 1 – 2=-1, 0 – 7=-7, 3 – (-3)=6. vektorning koordinatalari ham xuddi shunday: -3 – (-2)=1, -4 – 3=-7, 5 – (-1)=6. shunday qilib, , vektorlar teng. Teng veltorlarning yana bir jufti dan iborat.


FAZODA VEKTORLAR USTIDA AMALLAR
Vektorlar ustida amallar: qo`shish, songa ko`paytirish va skalyar ko`paytirish amallari xuddi tekislikdagidek ta`riflanadi.
va vektorlarning yig`indisi deb c(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>; a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>; a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>) vektorga aytiladi.
vektor tenglik huddi tekislikdagiudek isbotlanadi.
vektorning songa ko`paytmasi vektorlarga aytiladi.
Tekislikda isbot qilingan singari, bu yerda ham vektorning moduli ga tengligi, yo`nalishi esa uchun vektorning yo`nalishi bilan bir xil va uchun esa vektorning yo`nalishiga teskari bo`lishi isbotlanadi.
Masala (54). (1, 2, 3) vector berilgan. Boshi A (1, 1, 1) nuqtada va oxirida xy tekislikdagi B nuqtada bo`lgan unga kollinear vektorni toping.
Yechilishi: B nuqtaning z koordinatasi nolga teng vektorning koordinatalari. x – 1, y – 1, 0 – 1= -1. va vektorlarning kollenearligidan.

Proporsiyani hosil qilamiz. Bundan B nuqtaning x,y koordinatalarini topamiz:

va vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+a2+b2+a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>ga teng songa aytiladi. Vektorlarning skalyar ko`paytmasi ularning modullarini vektorlar orasidagi burchak kosinusiga ko`paytmasiga teng ekani xuddi tekislikdagidek isbotlandi.
Masala (59). To`rtta nuqta berilgan: A (0; 1; -1), B (1; -1; 2), C (3; 1; 0), D (2; -3; 1).
va vektorlar orasidagi burchakning kosinusini toping.
Yechilishi. vektorning koordinatalari quyidagilar bo`ladi.

1 – 0=1, -1 – 1=-2, 2 – (-1)=3;

vektorning koordinatalari:
2 – 3=-1, -3 – 1=-4, 1 – 0=1;

Demak,