Funksiya differensiali uchun geometrik maʼnosi. Funksiya differensialining taqribiy hisobga tadbiqi reja

FUNKSIYA DIFFERENSIALI UCHUN GEOMETRIK MAʼNOSI. FUNKSIYA DIFFERENSIALINING TAQRIBIY HISOBGA TADBIQI


Reja:

1. 
   Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi bo`lishining zaruriy va yetarli sharti
   
2. 
   Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma`nolari.
   
3. 
   Elementar funksiyalarning differensiallari. Differensial topish qoidalari.
   
4. 
   Differensial formasining invariantligi.
   

1. Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi bo`lishining zaruriy va yetarli sharti

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va x₀Î(a,b) bo`lsin.

Ta`rif: Agar f(x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Dy orttirmasini
Dy=A×Dx+a(Dx)Dx (1.1)
ko`rinishda yozish mumkin bo`lsa, bu funksiya x=x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bunda A - Dx ga bog`liq bo`lmagan biror o`zgarmas son, a(Dx) esa Dx®0 da cheksiz kichik funksiya, ya`ni .
y=kx+b chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun Dy=kDx tenglik o`rinli, ya`ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga to`g`ri proportsional. Tarifdagi Dy=A×Dx+a(Dx)Dx tenglik esa funksiya orttirmasi argument orttirmasiga «deyarli to`g`ri proportsional»ligini bildiradi, ya`ni Dy»ADx. Bu tenglik |Dx| qanchalik kichik bo`lsa, shunchalik aniqroq bo`ladi. Geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo`lishi funksiya grafigi x nuqtaning yetarlicha kichik atrofida biror novyertikal to`g`ri chiziq, ya`ni biror chiziqli funksiya grafigi bilan «qo`shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo`lishi funksiya grafigini x nuqtaning yetarlicha kichik atrofida «to`g`rilash» mumkinligini anglatadi.
Masalan, 16-rasmda y=x² funksiya grafigini x₀=1 nuqta atrofida y=2x-1 to`g`ri chiziq grafigi bilan «qo`shilib» ketishi ko`rsatilgan.

16-rasm 17-rasm
17-rasmdan y=|x| funksiyani x=0 nuqtada differensiallanuvchi emasligi kelib chiqadi, bu funksiya grafigini x=0 nuqtaning hech bir atrofida «to`g`irlab» bo`lmaydi.