Halqanın əsas xassələri

Halqanın əsas xassələri
H- elementlər çoxluğu olsun. H—çoxluğunda iki binar cəbri əməl təyin olunsun. Bunları “toplama” və “vurma” adlandıraq və “+” , “·” kimi işarə edək. Beləliklə, < H ;+ ; ·> cəbrini almış oluruq.
Tərif: < H ;+ ; ·> cəbrində aşağıdakı şərtlər ödənilərsə, bu cəbrə halqa deyilir:

1. 
   < H ;+> - kommutativ qrup olsun;
   
2. 
   < H ; · > - yarımqrup olsun, yəni H-da təyin olunmuş vurma cəbri əməli assosiativ olsun,
   
3. 
   Vurmanın toplamaya nəzərən distributivliyi doğru olsun,yəni
   

∀(a, b, c ∈ H) a(b+c)=ab+ac – sol distributivlik, (b+c)a=ba+ca – sağ distributivlik.
H halqasında əlavə olaraq, vurmanın kommutativliyi də doğru olarsa, belə halqaya kommutativ halqa deyilir. Aşkardır ki, kommutativ halqada, distributivlik şərtindəki hər iki eynilik üst-üstə düşdqyündən onların birini yazmaq kifayətdir.

1. 
   1. Şərtinə görə < H ;+> - kommutativ
   

Qrupdur. Ona görə də kommutativ qrupun bütün xassələri H -da ödənilir.
a-b=a+(-b) yazılışından çox istifadə olunur. İndi halqanın aksiomlarından istifadə edərək göstərək ki, halqanın sıfırı halqanın elementləri üçün vurmaya nəzərən sıfır rolunu oynayır (ədədlərdə olduğu kimi).
∀b ∈ H ⇒ b=b+0 bərabərliyi doğrudur. Onda ∀a ∈ H üçün ab=a· (b+0) bərabərliyi də doğrudur. Sol distributivlik qanunundan alarıq ki,
ab=ab+a·0.
< H; +> - qrup olduğundan alarıq ki,

2. 
   a·0=0.
   

Eyni qayda ilə alarıq ki, ∀a ∈ H, 0·a=0. Bu xassədən də ədədlər üçün məlum olan işarə qaydasını almaq olar: 0=b+(-b) münasibətindən və II-dən alarıq: ∀a,b ∈ H üçün
0=a·0=a(b+(-b))=ab+a(-b)
münasibəti doğrudur. Halqada əks element yeganə olduğundan alarıq ki:

3. 
   a(-b)=-(ab). Analoji qaydada alarıq ki, (-a) ·b=-(ab). 0=b+(-b)
   

bərabərliyindən, əks elemetin tərifinə əsasən alarıq ki,

4. 
   –(-b)=b.
   

İsbat etdiyimiz münasibətlərdən istifadə edərək alarıq:

5. 
   (-a) · (-b)= -(a(-b))=-(-(ab))=ab
   
6. 
   a · (b-c) = a·b - a·c və ( b-c )a= b · a – c ·a bərabərlikləri doğrudur, yəni
   

halqada vurmanın çıxmaya nəzərən distributivliyi doğrudur.
Tərif 10: H halqasında hər birisi sıfırdan
fərqli elə a və b elementləri varsa ki, a · b=0 olsun, onda a-ya sıfırın sol böləni, b-yə sıfırın sağ böləni deyilir.
H halqasında sıfırın bölənləri yoxdusa, onda deyirlər ki, bu halqa sıfırın
bölənlərini özündə saxlamır.
Tərif 11: Halqanın vahidi varsa belə halqaya vahidli halqa deyilir.