İnformasiya texnologiyalarını və sistemləri

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi

Azərbaycan Memarlıq və İnşaat Universiteti

Sərbəst iş

Kafedra: “İnformasiya texnologiyalarını və sistemləri”

İxtisas: Proseslərin avtomatlaşdırılması və mühəndisliyi

Qrup: 899a1

Müəllim: Dursun Xurşudov

Tələbə: Fətəliyeva Yasəmən

Bakı 2022

Asılı və asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər və onların müntəzəm paylanması.

Hadisə və onun ehtimalı kimi təsadüfü kəmiyyət anlayışı da ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir.Hər bir sınağın nəticəsinə təsadüfü kəmiyyət kimi baxa bilərik.Təsadüfü kəmiyyət, baxılan hadisəni keyfiyyət və kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfü amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir.Təsadüfü kəmiyyətin hansı qiymət alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir.Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir.

Sınağın nəticəsini keyfiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı konkret əlamət fakt qeyd olunur və onun nəticəsinin əlamətə malik olub- olmadığı müəyyənləşdirilir.Qeydə alınan bu əlamət hadisə adlanır və deyirlər : “hadisə baş verdi”, ya da “hadisə baş vermədi”.

Sınağın nəticəsini kəmiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı hər hansı kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlər müəyyən olunur, belə ki, həmin qiymətləri sınağa qədər təyin etmək mümkün deyildir.Belə kəmiyyətlər təsadüfi adlanır.

Deməli, təsadüfü kəmiyyət sınaq nəticəsində bu və ya digər qiymət ala biləcək dəyişən kəmiyyətdir.

Misal 1. Bir zəri bir dəfə atmaqdan ibarət olan sınaqda yuxarı düşən üzdəki xallar sayını ilə işarə edək. – təsadüfü kəmiyyətdir.Bu kəmiyyət 1,2,3,4,5,6 qiymətlərinin birini ala bilər, lakin hansı qiyməti alacağını qabaqcadan demək mümkün deyildir.

Misal 2. Müəyyən zaman müddətində telefon stansiyasına gələn siqnalların sayı təsadüfü kəmiyyətdir.Bu kəmiyyət 0,1,2,… qiymətlərinin hər birini ala bilər.

Misallardan aydındır ki, sınaqları kəmiyyətcə xarakterizə edən təsadüfü X kəmiyyətnin qabaqcadan hansı qiymətləri alacağılnı qəti demək mümkün deyildir.Təsadüfü kəmiyyətin ancaq ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu göstərilir.Bu qiymətlər sonlu, hesabi və qeyri hesabi çoxluq təşkil edə bilər. Əgər təsadüfü kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfü kəmiyyət deyilir. Birinci iki misalda baxılan X kəmiyyəti diskret təsadüfü kəmiyyətdir.Təsadüfü kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfü kəmiyyət deyilir.Üçüncü misalda baxılan təsadüfi kəmiyyət kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdir.

Diskret və kəsilməz olmayan təsadüfü kəmiyyətlər də vardır.Bundan başqa, bir intervalda kəsilməz olan təsadüfü kəmiyyət başqa bir intervalda diskret ola bilər.

Tutaq ki, metal pul iki dəfə atılır. Bu snağın riyazi modelini quraq.Sınağın nəticələri olan elementar hadisələr aşağıdakı kimi olar: =GG( hər iki metal pulda qerb üzü düşmüşdür); GP, (RG), (RR).Beləliklə, elementar hadisələr fəzası şəklində olar.

Təsadüfü kəmiyyətləri ancaq onların ala bildiyi qiymətlər çoxluğunu göstərməkıə təyin etmək mümkün deyildir.Belə ki, qiymətlər çoxluğu eyni olan, lakin bu qiymətləri müxtəlif ehtimallarla alan müxtəlif təsadüfü kəmiyyətlər vardır.Buna görə də, təsadüfü kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir.

Bu məqsədlə təsadüfü kəmiyyətin paylanma funksiyasına baxılır.

Istənilən həqiqi üçün çoxluğu -cəbr olan sisteminə daxil olduğundan, onun ehtimalı təyin olunmuşdur.Bu ehtimala – təsadüfü kəmiyyətinin -dən kiçik qiymət alması hadisəsinin ehtimalına həmin kəmiyyətin paylanma funksiyası deyilir.

Təsadüfi kəmiyyətlər dedikdə təkrar sınaqda müəyyən qiymət alan və təkrar sınaqdan əvvəl mümkün qiymətlərindən hansını alacağını demək mümkün olmayan kəmiyyətlər nəzərdə tutulur.Təkrar sınaq olunduqda həmin təsadüfi kəmiyyət əvvəlki qiymətini almaya da bilər.Təsadüfi kəmiyyətlər müxtəlif şəkildə olurlar.Əsas iki yerə bölünürlər;

1) Disret və kəsilməyən təsadüfi kəmiyyətlər.

2) Diskret təsadüfi kəmiyyət.

Diskret təsadüfi kəmiyyətə tərif vermək üçün əvvəlcə “izolə olunmuş nöqtə” anlayışı verək.

Tutaq ki müəyyən olunmuş çoxluq E ilə işarə olunmuşdur və x0 bu çoxluğun elementidir.Əgər x0 elementini elə intervala almaq mümkün olsa həmin intervala E çoxluğunun başqa elementləri daxil olmur onda x0 elementinə E çoxluğunun izolə olunmuş nöqtəsi deyilir.

Təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətləri ilə bunların ehtimallarının əlaqəsini göstərən münasibətlərə təsadüfi kəmiyyətin paylanması deyilir.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanmasi verilib dedikdə onun sınaqlarda ala biləcəyi qiymətləri ilə bərabər bu qiymətlərin ehtimallarının və yaxud da bu ehtimalları təyin etmək üçün uyğun qanunun verilməsi başa düşülür.

Diskret təsadüfi kəmiyyətiləri böyük latın hərfləri X, Y ,Z ,...x0 , x1, xn , ...; yn...; z0, z1....zn ilə işarə edilir.

Məsələ;Tutaq ki, metal pul 4 dəfə təkrar atılır.Gerb üzünün hansı saylarda düşə biləcməsini göstərən təsadüfi kəmiyyəti X ilə işarə etsək, bu kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətləri x0=0, x1 =1, x2 =2, x3 =3, x4 =4 ola bilər.

Məsələdə sınaqların sayı çox ola olmadiğı üçüçn binəmial qanundan istifadə edək.Məsələnin şərtinə görə p = q = dir.

Pn (x)= Cn px qn-x düsturundan

P0=p4(0)=C 4 p0 q4 =

P1=P4(1)=C4 p0 q3 =

P2=p4(2)=C4p2q2 =

Sınaqların sayı çox olan təkrar sınaqda diskret təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətlərindən ehtimalları hesablamaq üçün, p-nin qiymətinə uyğun olaraq, Muavr-Laplasın lokal düsturundan və yaxud da Puasson düsturundan istifadə etmək lazımdır.

Diskret təsadüfi kəmiyyət üçün Puasson düsturu

Pn (X) =

Təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətləri hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı tam doldura bilirsə, belə təsadüfi kəmiyyətlərə kəsilməyən təsadüfi kəmiyyət deyilir.X təsadüfi kəmiyyətinin paylanması dedikdə, x-in hər bir qiyməti üçün x-in həmin qiymətindən kiçik qiymətlər almasının ehtimallarının cəmi başa düşülür, yəni X təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasını X=x qiymətlər alması ehtimalları deyil, X-in –∞

X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasının aşağıdakı əsas xassələrini qeyd etmək olar;

1. F(x) funksiyası azalmayan funksiyadır, yəni ixtiyari x1 < x2 üçün F (x1)< F (x2) şərti ödənir.

2. x -∞ da F (x) 0

3. x +∞ da F (x) 1

Kəsilməyən X təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasını sxematik alaraq şəkildəki kimi göstərmək olar.Paylanma funksiyası bəzi nöqtələrdə birinci növ kəsilə bilər.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası X-in ardıcıl ixtiyari 2 dənə qiyməti arasında dəyişmir və 2-cinin sağından birinci növ kəsilir.Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanmsının qrafikini sxematik olaraq şəkildəki kimi göstərmək olar.∆Fi sıçrayışı xi qiymətinin ehtimalını göstərir.Diskret təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətləri kifayət qədər sıx olduqda bunun paylanma funksiyası kəsilməyən təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasına yaxın olur.