Mavzu : Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Reja

Mavzu : Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.


Reja:

1. 
   Minor va algebraik to’ldiruvchi tushunchalari.
   
2. 
   Minorni algebraik to’ldiruvchisiga ko’paytmasi haqidagi teorema.
   
3. 
   Determinantlarni hisoblash.
   

1-ta’rif. Biror n-tartibli determinantning elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1) - tartibli determinantga aytiladi va odatda M_ij orqali belgilanadi.
Masalan.

uchinchi tartibli determinantning a₂₃ elementining minori M₂₃= ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.


2-ta’rif. n-tartibli determinantning elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1)^i+j ishora bilan olinganiga aytiladi va orqali belgilanadi.
= (-1)^i+jM_ij
Misol.

determinantning a₄₃ elementining minorini va a₂₁ elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang.
M₄₃= =3-20-15+8= -24
A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁= - = -24+3-6+4= -23.
Minor va algebraik to’ldiruvchilar tushunchalari kiritilgandan keyin determinantning yana uchta xossasini ko’rib o’taylik.
7-xossa. Agar determinantning biror i-yo’lida (yoki j-ustunida) elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.
= = (-1)^i+j M_ij .


8-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi.
= a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ yoki a₁₁A₁₁₊a₂₁A₂₁+ a₃₁A_31.
Determinantning 8-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.
Misol.
=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +
+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .
9-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi.
Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+ a₃₂A₃₁=0 bo’lad

n-tartibli d determinant berilgan bo’lsin. 1 k  n-1 shartni qanoatlantiruvchi son bo’lsin.Determinantni ixtiyoriy k ta satr va k ta ustunini tanlab olaylik. Bu satr va ustunlar kesishgan joylarda turgan elementlar k-tartibli matritsa tashkil qiladi.Bu matritsa determinanti d determinantni k- tartibli minori deyiladi. Shuningdek , k-tartibli minor bu determinantda n-k ta satr va n-k ta ustunni o’chirishdan hosil bo’ladigan determinant ham deb qarash mumkin.

n-tartibli determinantda k-tartibli M minor olingan bo’lsin. Bu minor turgan satr va ustunlarni o’zirsak, (n-k)-tartibli M` minor qoladi va u M minor uchun to’ldiruvchi minor deyiladi.
Masalan, element va determinantni i-satri va j-ustunini o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1)- tartibli minor o’zaro to’ldiruvchi minorlar jufti bo’labi.
Agar k-tartibli M minor nomerli satrlar va nomerli satrlarga joylashgan bo’lsa, u holda M minorni algebraik to’ldiruvchisi deb

songa aytiladi. Bunda
(1)