Mavzu : Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Reja

Teorema. d determinantda k-tartibli ixtiyoriy M minorni uning algebraik to’ldiruvchisiga ko’paytmasi d determinantda algebraik yig’indi bo’lib, uning qo’shiluvchilari M minor hadlarini determinantni hadlariga ko’paytirishdan hosil bo’ladi, ularni bu yig’indidagi ishoralari determinant tarkibiga kirgan yig’indilar ishoralari bilan bir xil bo’ladi.
Isboti.
1.M minor determinantni 1,2,...,k nomerli satr va shu nomerli ustunlarda joylashgan bo’lsin:

Bu 1. holda
bo’ladi.Demak, M minorni algebraik tuldiruvchisi M` minorni o’zi bo’lib xizmat qilabi.
(2)
M minorni biror ixtiyoriy hadi bo’lsin. Agar l
(3)
o’rniga qo’yishdagi inversiyalar soni bo’lsa, u holda bu (2) hadning M dagi ishorasi (-1)<sup>l</sup> bo’ladi.
(4)
M` minorning biror ixtiyoriy hadi va l`
(5)
o’rniga qo’yishdagi inversiyalar soni bo’lsa, u holda bu (4) had M` minorda (-1)^{l`</sup> ishoraga ega. (2) va (4) hadlarni ko’paytirib d determinantning turli satr va ustunlarida joylashgan n ta elementning ko’paytmasini hosil qilamiz:
(6)
Demak, bu (6) d determinantni hadi bo’ladi. Bu hadning (6) dagi ishorasi esa
(7)
o’rniga qo’yishdagi inversiyalar, soniga bog’liq bo’ladi.Bu (7) dagi inversiyalar soni l+l` ga teng, chunki  va  lar inversiya tashkil etmaydi, ya’ni barcha _i lar k dan katta emas , barcha _j lar k+1 dan kichik emas.
(6) ni MM` ko’paytmadagi ishorasi ham (-1)<sup>l</sup> (-1)<sup>l`} bo’ladi.Demak, (6) ni MM` dagi va d dagi ishoralari ham bir xil bo’ladi.
Biz bu teoremani xususiy holda ya’ni M determinantni yuqori chap uchida joylashgan holda isbotladik.
2.hol.Endi M minor nomerli satrlarda va nomerli ustunlarda joylashgan bo’lsin.Shu bilan birga

bo’lsin. Determinantni satr va ustunlarini almashtira borib M minorni yuqori chap burchakka suraylik.Shu maqsadda , satrni (i₁-1)-satr bilan, sungra (i₁-2)-satr bilan almashtiramiz va hakazo.Bu ishni i₁-satr birinchi satr o’rnini egallaguncha davom ettiramiz, buni uchun i₁-1 marta satrlarni o’rnini almashtirishimiz lozim bo’ladi.So’ngra i₂-satrni yuqorida turgan satrlar bilan o’rin almashtirib, bevosita i₁ -satr ostida joylashguncha ya’ni ikkinchi satr o’rnini egallaguncha davom ettiramiz; buni uchun satrlar o’rnini i₂-2 marta almashtirishimiz kerak.Xuddi shu yo’l bilan i₃-satrni uchinchi satr o’rnini egallaguncha suramiz va hakazo.
Bu ishni i_k-satr k-satr o’rnini egallaguncha davom ettiramiz. Bunda biz hammasi bo’lib satrlarning
(i₁-1)+(i₂-2)+...+(i_k-k)=(i₁+i₂+...+i_k)-(1+2+...+k)
transpositsiyasini bajardik.
Endi determinant ustunlarining o’rnini ketma-ket almashtirib : j₁-ni birinchi ustunga, j₂-ustunni ikkinchi ustunga va hakazo , j_k-ustun k-chi ustunni egallaguncha o’rin almashtirishni davom ettiramiz.
Bunda biz hammasi bo’lib
(j₁-1)+(j₂-2)+...+(j_k-k)=(j₁+j₂+...+j_k)-(1+2+...+k)
marta o’rin almashtiramiz.
Bu almashtirishdan keyin hosil bo’lgan d` determinantda M minor yuqori chap burchakda joylashgan.Biz har gal qo’shni satrlar yoki qo’shni ustunlarni almashtirganimiz sababli M` minor turgan satrlar va ustunlar vaziyati o’zgarishsiz qladi.Demak, d` determinantda M minor to’ldiruvchi bo’lib, pastki o’ng burchakni egallovchi M` minor qoladi. 1. holda isbotlaganimizga ko’ra MM` ko’paytma determinantning biror miqdordagi hadlar yig’indisidan iboratdir. Biroq d` determinant d determinantdan satrlar va ustunlarni
[(i₁-1)+(i₂-2)+...+(i_k-k)]+ [(j₁-1)+(j₂-2)+...+(j_k-k)]=[ (i₁+i₂+...+i_k)+ (j₁+j₂+...+j_k)]-2(1+2+...+k)= S_M-2(1+2+...+k)
ta transpozisiya qilish orqali hosil qilingan.Demak, determinant xossalaridan ma’lumki d va d` determinantlar hadlari bir -biridan (-1)<sup>S</sup>M ishora bilan farq qiladi.
Bundan esa (-1)<sup>S</sup> MM` ko’paytma d determinantning ma’lum miqdordagi hadlaridan tuzilgan bo’lib, bu hadlar shu d determinantda qanday ishoraga ega bo’lsalar ko’paytmada ham shu ishoraga ega ekanligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.