Mavzu; A. N. Kolmogorov aksiomalaridan kеlib chiqadigan ehtimolning xossalari

Mavzu; A.N.Kolmogorov aksiomalaridan kеlib chiqadigan
ehtimolning xossalari.
Reja;

1. 
   A.N.Kolmogorov aksiomalari
   
2. 
   Ehtimolliklar nazariyasi
   
3. 
   Ehtimolning xossalari
   

Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov tomonidan 30- yillarning boshlarida asos solingan. Bu aksiomalar ehtimollar nazariyasini funksiyalarning o`lchov nazariyasi bilan bog`laydi.  - biror tajribaning barcha elementar hodisalar to‘plami, F-hodisalar algebrasi bo‘lsin. F hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi P(A) fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o‘rinli bo‘lsa: A1: ihtiyoriy A F  hodisaning ehtimolligi manfiy emas P(A)  0 (nomanfiylik aksiomasi); A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng P() 1 (normallashtirish aksiomasi); A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar yig‘indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig‘indisiga teng. P uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda  -elementar hodisalar fazosi, F-hodisalar algebrasi, P- aksiomalarni qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya. Ehtimollikning xossalari Kolmogorov aksiomalarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz: 1. Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng P()  0 . 2. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng P(A)  P(A) 1. 3. Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o‘rinli: 0  P(A) 1 4. Agar A  B bo‘lsa, u holda P(A)  P(B). 5. Birgalikda bo‘lmagan hodisalar. Ehtimolliklar nazariyasi matematik fan sifatida ro‘y berishi yoki ro‘y bermaganligi noaniq bo‘lgan voqealarning modellarini (voqealarning o‘zini emas) o‘rganadi. Boshqacha qilib aytganda, ehtimolliklar nazariyasida shunday tajribalar modellarini o‘rganiladiki, bu tajribalarning natijalarini oldindan aniqlab bo‘lmaydi. Masalan, tanga tashlanganda uni gerb yoki raqam tomoni bilan tushishi, ob-havoni oldindan aytib berish, ishlab turgan agregatning yana qancha ishlashi, ommaviy ishlab chiqarilgan mahsulotning nosozlik qismi, elektr signallarini uzatishda halaqit beruvchi vaziyatlar yuzaga kelishi-bularning hammasini ehtimolliklar nazariyasining qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan predmetlar deb qaralishi mumkin. Ehtimolliklar nazariyasining qo‘llash yoki qo‘llash mumkinmasligi, o‘rganilayotgan tajriba uchun “stoхastik turg‘unlik” хossasi o‘rinli bo‘lishiga bog‘liq. Oхirgi tushuncha esa, o‘z navbatida, o‘rganilayotgan tajribaning bir хil sharoitda ko‘p marta kuzatish (o‘tkazish) imkoniyati bilan bog‘liq (sanab o‘tilgan misollarga e’tibor bering) kuzatish qiyin bo‘lgan tajribalarni esa ehtimolliklar nazariyasi yordamida deyarli o‘rganib bo‘lmaydi. Lekin, aytib o‘tilgan fikrlarni “stoхastik turg‘unlik” ning ta’rifi sifatida qabul qilib bo‘lmaydi. Aslida esa, bu tushunchaga ehtimolliklar nazariyasi fundamental natijalaridan biri-katta sonlar qonuni orqali kelish mumkin. Buning uchun quyidagi tushunchalarni keltirish bilan chegaralanib qolamiz. Bizning ongimizda biror hodisaning ehtimolligi (“ro‘y berishlik darajasi”) bir хil tipdagi tajribalarni bir хil sharoitda ko‘p marta takrorlanganda bu hodisaning ro‘y berish chastotasiga bog‘liq. Ehtimollar nazariyasi ―tasodifiy tajribalar‖, ya‘ni natijasini oldindan aytib bo’lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlatni o’rganuvchi matematik fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o’zgarmas (ya‘ni, bir xil) shartlar kompleksida hech bo’lmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi. Bunday tajribalar har birining natijasi tasodifiy hodisa ro’y berishidan iboratdir. Insoniyat faoliyatining deyarli hamma sohalarida shunday holatlar mavjudki, u yoki bu tajribalarni bir xil sharoitda ko’p matra takrorlash mumkin bo‗ladi. Ehtimollar nazariyasini sinovdan-sinovga o’tishida natijalari turlicha bo’lgan tajribalar qiziqtiradi. Biror tajribada ro’y berish yoki bermasligini oldindan aytib bo’lmaydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi: tanganing gerb tomoni tushishi yoki tanganing raqam tomoni tushishi. Albatta, bu tajribani bir marta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan faqat bittasigina ro’y beradi. Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jamiatda, ilmiy tajribalarda, sport va qimor o’yinlarida kuzatishimiz mumkin. Umumlashtirib aytish mumkinki, tasodifiyat elementlarisiz rivojlanishni tasavvur qilish qiyindir. Tasodifiyatsiz umuman hayotning va biologik turlarning yuzaga kelishini, insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy faoliyatini, sotsial-iqtisodiy tizimlarning rivojlanishini tasavvur etib bo’lmaydi. Ehtimollar nazariyasi esa aynan mana shunday tasodifiy bog‗liqliklarning matematik modelini tuzish bilan shuguillanadi. Tasodifiyat insoniyatni doimo qiziqtirib kelgandir. Shu sababli ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi amaliyot talablariga mos ravishda rivojlangan. Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlardan farqli o’laroq nisbatan qisqa, ammo o’ta shijoatlik rivojlanish tarixiga ega. Endi qisqacha tarixiy ma‘lumotlarni keltiramiz. Ommaviy tasodifiy hodisalarga mos masalalarni sistematik ravishda o’rganish va ularga mos matematik apparatning yuzaga kelishi XVII asrga to’gri keladi. XVII asr boshida, mashhur fizik Galiley fizik o’lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab, ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish, o’lish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi ommaviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan sug‗urtalanishning umumiy nazariyasini yaratishga ham urinishlar bo’lgan. Ammo, ehtimollar nazariyasi matematik ilm sifatida murakkab tasodifiy jarayonlarning 10 o‗rganishdan emas, balki eng sodda qimor o’yinlarini tahlil qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtimollar nazariyasining paydo bo‗lishi XVII asr ikkinchi yarmiga mos keladi va u Paskal (1623- 1662), Ferma (1601-1665) va Gyuygens (1629-1695) kabi olimlarning qimor o’yinlarini nazariyasidagi tadqiqotlari bilan bog‗liqdir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi katta qadam Yakov Bernulli (1654-1705) ilmiy izlanishlari bilan bog‗liqdir. Unga, ehtimollar nazariyasining eng muhim qonuniyati, deb hisoblanuvchi ―katta sonlar qonuni‖ tegishlidir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam de Muavr (1667-1754) nomi bilan bog‗liqdir. Bu olim tomonidan normal qonun (yoki normal taqsimot) deb ataluvchi muhim qonuniyat mavjudligi sodda holda asoslanib berildi. Keyinchalik, ma‘lum bo‗ldiki, bu qonuniyat ham, ehtimollar nazariyasida muhim ro’l ‘oynar ekan. Bu qonuniyat mavjudligini asoslovchi teoremalar ―markaziy limit teoremalar‖ deb ataladi. Ehtimollar nazariyasi rivojlanishida katta hissa mashhur matematik Laplasga (1749-1827) ham tegishlidir. U birinchi bo‗lib ehtimollar nazariyasi asoslarini qat‘iy va sistematik ravishda ta‘rifladi, markaziy limit teoremasining bir formasini isbotladi (Muavr-Laplas teoremasi) va ehtimollar nazariyasining bir necha tadbiqlarini keltirdi. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi etarlicha darajada oldinga siljish Gauss (1777-1855) nomi bilan bog‗liqdir. U normal qonuniyatga yanada umumiy asos berdi va tajribadan olingan sonli ma‘lumotlarni qayta ishlashning muhim usuli – ―kichik kvadratlar usuli‖ni yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini umumlashtirdi va ehtimollar nazariyasini o’q uzish masalalariga qo’lladi. Uning nomi bilan ehtimollar nazariyasida katta ro’l ‘oynovchi taqsimot qonuni nomlangandir. XVII va XIX asrlar uchun ehtimollar nazariyasining keskin rivojlanishi va u bilan har tomonlama qiziqish xarakterlidir. Keyinchalik ehtimollar nazariyasi rivojiga Rossiya olimlari V.Ya. Bunyakovskiy (1804- 1889), P.L. Chebishev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), A.M. Lyapunov (1857-1918), A.Ya. Xinchin (1894-1959), V.I. Romanovskiy (1879-1954), A.N. Kolmogorov (1903-1987) va ularning shogirdlari bebaho hissa qo‗shdilar. O‗zbekistonda butun dunyoga taniqli Sarimsokov (1915-1995) va S.X. Sirojiddinov (1920-1988) larning muhim rollarini alohida ta‘kidlab o’tish joizdir. Ikkita A va B tasodifiy hodisalar birgalikda qaralayotgan ko’p hollarda quyidagi savol tug’iladi: bu hodisalar bir-biri bilan qanchalik bog’langan, ulardan birining ro’y berishi ikkinchisining ro’y berishiga qay darajada ta’sir qiladi. Ikkita tasodifiy hodisa orasidagi eng sodda bog’lanishlar sababli bog’lanishlardir, ya’ni hodisalardan birining ro’y berishi albatta ikkinchisining ro’y berishiga olib keladi yoki bir hodisaning ro’y berishi ikkinchisining ro’y berishini inkor qiladi. Biroq, bunday chetki hollardan boshqa juda ko’plab oraliq hollar ham mavjud, ularda bir hodisa bilan ikkinchi hodisa orasida sabali bog’lanish bo’lmaydi, ammo qandaydir bog’lanish mavjud bo’ladi.