Mavzu. Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes formulalari. G‘oyasi va hatolik tartibi

Mavzu. Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes formulalari. G‘oyasi va hatolik tartibi

REJA:

1. 
   Aniq integralni taqribiy hisoblash tushunchasi
   
2. 
   Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari
   
3. 
   Aniq integralni hisoblash algoritmi va dasturlari. Aniqlikni baholash
   

Tayanch tushunchalar: Taqribiy integrallash formulalari, Nyuton - Kotes formulalari va ularning qoldiqlari, Trapetsiya formulasi, Simpson formulasi

Aniq integralni taqribiy hisoblash

Quyidagi

b
I  f   _ f xdx
a

aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu erda

^{a, b} oraliqda uzluksiz.
f x

(1)

funksiya

Berilgan funksiyani ^{a, b} oralig’ini ⁿ ta uzunligi
_{h } b  a
n
ga teng bo’lgan

^{x0, x1,x1, x2 ,.....,xn1, xn } kesmalarga ajratamiz.

Agar tugunlarda belgilasak
f x
ning qiymatini
y_i 
f x_i  i  0,1,2,..., n
kabi

b

   

 ^y0
yn 

I f  _ f
a
x dx  h_
 2
 y₁  y₂  ......  y_n1  _{2 }
(2)


hosil qilmiz. Ushbu (2) formula umumiy trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu
formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi ^{y  f x} funktsiyaning
grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan iboratdir.

Faraz qilaylik
n  2m
juft son bo’lsin. ^{a, b}
integrallash oralig’ini ⁿ ta

uzunligi
_{h } b  a _ b  a
ga teng bo’lgan ^{x , x ,x , x}
,.....,x , x 
kesmalarga

n 2m
0 1 1 2
n1 n

ajratamiz. Berilgan funksiyani har bir kesmasini parabolik funksiya bilan almashtirsak
b _h

3
^I  ^f  ^ _ ^f  ^x^{dx  }_ ^{y0  y2m}  ^{ 4} ^{y1  y3   y2m1}  ^
a
^{ 2} ^{y2  y4  ......  y2m2} ^_
bo’ladi. Keltirilgan (3) formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi.

(3)

Ushbu keltirilgan (3) formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi

y  f x
funktsiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan

almashtirishdan iboratdir.

Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

h
Nyuton-Kotes formulalari J ^NK ( f ) .
J ( f )  int( f , a,b)) integralni hisoblash uchun Lagranj interpolyatsion ko’phadi

formulasidan foydalanamiz:



h n
J ^NK ( f )  J (L ( f ; x)) 


b

b
_ L_n ( f ; x)dx  _a


n n


_ f (x_i )l_i (x)dx  _ f (x_i ) p_i
(1)

bu yerda
a

b
p  l (x)dx 
i0
b _ x  x_{j dx}

i0

(2)

i _a i
^{a ji x}i ^{ x}j

1. 
   formula
   

x_i1 - x_i  h , hol uchun Nyuton - Kotes formulasi deyiladi, (2) Nyuton -

Kotes koeffitsientlari deyiladi. (2) da x  x  th almashtirishni bajarsak
dx  hdt, x  t, a  0,b  n, h  (b - a)/ n va

_{p } b  a ⁿ _(1)ni t(t 1)...(t  n) _dt

(3)

i _{n 0}
i!(n  i)!(t  i)

ko’rinishni hosil qilamiz. (3) ni hosil qilishda
x - x_j  (t - j)h, x_i - x_j
 (i - j)h

tengliklardan foydalandik.

To’g’ri to’rtburchaklar formulasi

h
J ^TT ( f ) .

Kvadratura formulasi (integral yig’indi)
_b n

J ( f )  _a
f (x)dx
 _p_if(_i )
i=0
(4)

da _i  x_i  h / 2,
p_i  h,
i  0, 1, ..., n 1
deb ushbu markaziy to’g’ri to’rtburchaklar

formulasi
J ^TT ( f )
ga kelamiz:

h
n1 n1

h i i 0.5
J ^TT ( f )  h_ f (x  h / 2) h_ f _ .
i0 i0
Markaziy to’g’ri to’rtburchaklar formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada

ko’rsatilgan asoslari h va
f (x_i  h / 2)
ga teng to’g’ri to’rtburchak yuzalarining

yig’indisi J_h^TT(f) ga almashtirilmoqda.

h
Trapetsiya formulasi J^T ( f ) .
Kvadratura formulasida_i  x_i , p₀  p_n  h / 2, p_i  h,i  1,..., n 1deb olamiz


n1
J^T ( f ) 
^{fi  fi1} h  ^h {f +2(f +...+f )+f }
(5)

h
i0
_{2 2} 0 1 n-1 n

5. 
   formula trapetsiya formulasi deyiladi. Trapetsiya formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada ko’rsatilgan asoslari f_i, f_i+1, h balandlikka ega trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi J_h^T(f) bilan almashtirilmoqda.
   

h
Simpson formulasi J^C ( f ) .

J ( f )
integralni taqribiy hisoblash uchun {(x_i , f (x_i )), i  0,1,..., 2n} jadval olib

xar bir [x_2i , x_2i2 ] {i  0,1,..., 2n - 2 } kesmada Nyutonning ikkinchi darajali ko’pxadini

quramiz. Bu funktsiyalar
[x₀ ; x_2n ]
kesmada uzluksiz ikkinchi darajali (parabolik)

interpolyatsiya splayni S( f , x) ni tashqil qiladi.

 ^{f (x2i )  (x - x2i ) f [x2i , x2i1]}

S ( f , x)  ^(x - x )(x - x ) f [x , x , x ]
(6)

^ 2i
2i1 2i 2i1 2i2

^x  x  x
, i  0.1,..., n -1

h
 2i
2i 2

so’ng
J ( f )  J (S)  J^C ( f )
deb qabul qilamiz va
J^C ( f )
ni Simpson formulasi deb

h
ataymiz. Ravshanki,
C


n1


^x2i2
_h n1

J_h ( f )  _
i0


^x2 i
L_2,i ( f ; x)dx 
^{[ f}2i ^{ 4 f}2i1 ^{ f}2i2 ^{] }

3
i0

^h { f  4( f ...  f )  2( f ...  f )  f }
₃ 0 1 2m1 2 2m2 2m

Oraliq natija quyidagicha yaratiladi. interpolyatsiya ko’phadini integrallaymiz.
[x₀ , x₂ ]
kesmada Nyutonning 2-darajali

Lemma 1. Ushbu sodda Simpson formulasi o’rinli:


x_2
 2 0 1 2 h 2
N (x)dx h( f  4 f  f ) / 3  J ^C (N ).
x₀

Isbot.
a₀  f₀ , a₁  f [x₀ , x₁], a₂  f [x₀ , x₁, x₂ ] deb quyidagilarni olamiz:

x₂ x₂
 ² 
0 1 0 2 0 1 0 1 2

N (x)dx  (a

0 1 2 h 2
x₀ x₀

• 
  a (x  x )  a (x  x )(x  x )dx  2ha
  

 2a h²  2a h³ / 3

2
 2hf₀  2h
3

h

2
( f₁  f₀ ) / h  2 ₃ ( f₀  2 f₁  f₂ ) / 2h
 h( f  4 f  f ) / 3  J ^C (N ).

Lemma 2.
r^C ( f )  f (x)  J^C ( f )
desak
r^C (x^ )  0,  0,1, 2,3 .

h h

h
Isbot.   0,1, 2 hollar ravshan,   3 hol elementar ko’rsatiladi:

1 (x

• 
  x )
  

x  x 1
(x²  x² ) 3

r^C (x³) 
(x⁴  x⁴)  ^{2 0} [x³  4( ^{0 2} )³  x³] 
(x⁴  x⁴)  ^{2 0} [x²  x²]  0

h ₄ 2 0 ₆ 0 ₂
2 ₄ 2 0
_{6 2} 0 2