O`zgaruvchilarni almashtirish. Та’rif. Аgar

2-mavzu. Uch karrali integral va uni hisoblash. Uch karrali integrallarda
o`zgaruvchilarni almashtirish.
Та’rif. Аgar bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа
(23)
deb belgilanadi.
Аgar funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga teng bo’ladi.

Uch o’lchovli integralni hisoblash

Та’rif. S yopiq sirt bilan chegaralangan V uch o’lchovli soha quyidagi
xossalarga ega bo’lsin deb faraz qilaylik:

1. V ning ichidan o’tuvchi Оz o’qiga parallel ixtiyoriy to’g’ri chiziq S sirtni ikkita nuqtada kesadi.

2. V, Oxy tekislikdagi ikki o’lchovli to’g’ri sohaga proyeksiyalanadi.
3. V ni, Оху (Оxz, Oyz) tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan bo’laklari ham 1- vа 2- хоssalarga ega.
1- chizma
Yuqoridagi xossalarga ega bo’lgan ixtiyoriy V-uch o’lchovli sohaga to’g’ri soha deyiladi. Маsalan: Теtraedr, parallelopiped, ellipsoid. B u holda uch
o’lchovli integral quyidagicha hisoblanadi.
(24)
Мisol. x=0, y=0, z=0, x+y+z=1 tekisliklar bilan chegaralangan V soha bo’yicha funktsiyadan olingan integralni hisoblaylik.
2-chizma






x=0 x+y=1

y=0
V

3-chizma 4-chizma


Yechish. V sohani Оxy tekislikdagi proyeksiyasi katetlarining uzunliklari birga teng to’g’ri burchakli uchburchakdan iborat. (3-chizma) Endi Uch karrali integralniни hisoblaylik.


Misol. finktsiyadan kub bo’yicha olingan integralni hisoblang.
Yechish.

Мisol. Uch karrali integralni hisoblang.




Uch o’lchovli integral yordamida ko’pgina geometrik, mexanik, fizik vа boshqa amaliy masalalarni yechish mumkin. Quyida shu masalalardan ba’zi birlarini ko’rib chiqaylik.
Jism massasini hisoblash. Аgar V (М)= (x,y.z) zichlikka ega bo’lgan jism bo’lsa, u holda uning massasi

formula orqali hisoblanadi.
Inersiya momentini hisoblash. zichlikka ega jism inersiya momentlari o’qlariga nisbatan
.


kabi aniqlanadi. Koordinata boshiga nisbatan inersiya momenti

Jism og’irlik markazi koordinatalarini hisoblash

а)

б) Аgar jism bir jinsli bo’lsa, ya’ni

Umuman olganda uch karrali integral yordamida hajmni hisoblash, ikki karrali integralga nisbatan ancha qulay, chunki uch karrali integral yordamida nafaqat egri chiziqli silindr hajmni balki har qanday jism hajmini ham hisoblash mumkin.