Parametrlar algebra

Mavzu:Parametrli algebra. Parametrli algebra va uning xossalari.

Fakultet:Axborot Xavfsizligi

Gurux 070-21

Talaba:Toshmahammadov.U

Tekshirdi:MARDIYEV U. R

Parametrli algebra. Parametrli algebra va uning xossalari, sonlarni parametr bo'yicha ko'paytirish, sonlarni parametr bo'yicha darajaga oshirish, sonlarni parametr bo'yicha teskarisini topish, chiziqli mosliklarni yechish.

Kirish

Prezentatsiyni ko’rish davomida siz algebraik parametrlar haqida bilib olasiz. Parametrli, algebrani tushunishda katta ahamiyatga ega bo'lgan ma'lumotlardir. Ushbu prezentatsiyada parametrlarning asosiy tushunchalari va ularni ishlatilishi haqida tushuntiriladi.
Oshkora kriptografiyaga [2, 23, 50] oid nosimmetrik kriptotizimlarni yaratish bitta maxfiylikka ega bo‘lgan bir tomonlama funksiyalardan foydalanishga asoslanadi. Eng mashhur nosimmetrik kriptotizimlarning kriptobardoshliligi diskret logarifm, elliptik egri chiziqda diskret logarifm va faktorlash masalalarini yechish asosida maxfiylikni topishning murakkabligiga asoslanadi. Bunda murakkablik darajasi kriptotizimdan noqonuniy (xaker) va qonuniy foydalanuvchilar uchun bir xil bo‘lib, katta hisoblash resursiga ega bo‘lgan tashqi noqonuniy buzg‘unchilar uchun kriptotizimni qo‘porish xavfiga o‘rin qoldiradi. Quyida noqonuniy buzg‘unchilarning qo‘poruvchilik imkoniyatlarini yo‘qqa chiqarishga imkon beruvchi, faqat qonuniy foydalanuvchilar uchungina ma’lum bo‘lgan an’anaviy maxfiylik(daraja ko‘rsatkichi – diskret logarifm uchun, Eyler pi-funksiyasi – faktorlash uchun)ka qo‘shimcha R parametrli bir tomonlama funksiyaning modul hollari uchun an’anaviy darajaga oshirish funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalari bayon qilingan [23, 51-54]. Bu yerda p – tub son, p1, p2 – har xil tub sonlar, R – parametr.
Xossalar ta’riflarida modul n bo‘yicha asos a ni R parametrli x darajaga oshirish natijasi shaklida ifodalangan, bu yerda parametrli darajaga oshirish belgisidir.
3.17-ta’rif. Modul arifmetikasida parametr R≥1 bilan darajaga oshirish funksiyasi parametrli funksiya deb ataladi.
Parametrli funksiyalarning chekli gruppa va halqada diskret darajaga oshirish funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalariga quyidagilar kiradi:
1-xossa. bu yerda ® – modul n bo‘yicha R parametrli ko‘paytirish amalining belgisi, 0 – birlik elementi, \ – parametr R bilan darajaga oshirish belgisi, a, z, d an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida

2-xossa. bu yerda
– parametr R bilan darajaga oshirish belgisi
an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida

Yuqorida keltirilgan xossalar parametrli funksiya qiymatini istalgan daraja ko‘rsatkichi uchun samarali hisoblash uchun yetarlidir. Bu yerda katta darajaga oshirish jarayoni, eksponensial funksiyani hisoblash jarayoni kabi kechib, davriy tarzda x=2 (kvadratlash)darajaga oshirish va hosil bo‘lgan avvalgi natijani asosga parametrli ko‘paytirish amallaridan foydalanishdan iborat bo‘ladi.
4-xossa. Agar d , e φ(n) bilan o‘zaro tub bo‘lib, φ(n) moduli bo‘yicha o‘zaro teskari juftlik bo‘lsa, unda
bu yerda – parametr R bilan darajaga oshirish belgisi; an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida
5-xossa (yechim mavjudligi sharti). Agar bo‘lsa, unda yechim x mavjud bo‘lishi uchun
mavjud bo‘lishi shart, bu yerda
– modul n bo‘yicha R parametrli ko‘paytirish amalining belgisi,
an’anaviy (parametrsiz) taqqoslama
uchun
6-xossa (parametrli kvadratik chegirma). Parametrli Z*n gruppaning elementi bo‘lgan a soni uchun, bu yerda n>1, parametrli Zn gruppada
shartni qanoatlantiruvchi b soni mavjud bo‘lsa, unda a soni modul n bo‘yicha R parametrli kvadratik chegirma, aks holda R parametrli kvadratik chegirma emas;
An’anaviy kvadratik chegirma a uchun shartni qanoatlantiruvchi b son mavjudligi nazarda tutiladi.
7-xossa (parametrli Lejandr simvoli). Agar a soni p toq tub modul parametrli kvadratik chegirma bo‘lsa, unda parametrli Lejandr simvoli (a/p)=0, aks holda (a/p)= (-2)R-1(mod p);
a soni p toq tub modul kvadratik chegirma bo‘lsa, unda an’anaviy (parametrsiz) Lejandr simvoli (a/p)=1, aks holda (a/p)= -1.
8-xossa (Qulay hisoblanadigan kvadratik ildiz). 1) Agar tub modul
shartni qanoatlantirsa va a parametrli kvadratik chegirma bo‘lsa, unda kvadratik ildiz
2) Agar tub modul shartni qanoatlantirsa va a parametrli kvadratik chegirma bo‘lsa, unda kvadratik ildiz
an’anaviy ifodalarda darajaga oshirish belgisi qatnashmaydi.
9-xossa (Qoldiqlar haqida parametrli xitoycha teorema). Agar i=1,2,…,k uchun berilgan tenglamalar sistemasi x ci (mod pi) bo‘lsa, 1 pi< pj k bo‘lganda EKUB(pi, pj ) =1 bo‘lsa, unda .
taqqoslamalar sistemasini qanoatlantiruvchi parametrli chegirmalar sinfi Ipi va yagona yechim mavjud:
bu yerda
modul n=p1 p2*** pk, ® – modul n bo‘yicha R parametrli ko‘paytirish amalining belgisi, EKUB - eng katta umumiy bo‘luvchi funksiyasining nomi, ci - parametrli algebra amallari asosida aniqlangan kattalik, masalan, pi modul bo‘yicha R parametr bilan berilgan kattalikni ildizdan chiqarish natijasi;
an’anaviy (parametrsiz) qoldiqlar haqida xitoycha teoremada
bu yerda
Quyida qoldiqlar haqida an’anaviy va parametrli xitoycha teoremalarni a=9 va a=48 sonlarining n=7*11=77 bo‘yicha kvadrat ildizlaridan birini topishga misol keltirilgan.

Xulosa

Parametrlar, algebrani tushunish va amaliyotlarida katta ahamiyatga ega bo'lgan ma'lumotlardir. Ushbu prezentatsiyada parametrlarning asosiy tushunchalari, ularni amaliyotlari va xossalari ko'rsatilgan.