Reja: Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot

Mavzu: Yig`indi va ayirmaning ta'rifi va xossalari


Reja:


1. Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot

2. Nomanfiy butun sonlar to`plamini tuzishdagi har xil yondashuvlar

3. Yig`indi av ayirmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi

4. Foydalanilgan adabiyotlar
Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot. Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga 58 kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi. O'zining rivojlanish davrida natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatishgan, ya'ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni sanamasdan idrok qilganlar.

Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural sonlarning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo'la boshladi. Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi. Sonni va sonlar ustida amallarni o'rgana boshlagan fan «Arifmetika» nomini oldi. Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to'plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind, Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa Yevropalik olimlar katta hissa qO'shdilar. «Natural son» atamasini birinchi bo'lib rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi.
Har bir fanni bayon etishda tushunchalarga nisbatan turlicha mulohaza yuritiladi. Chunki bu tushunchalarning ayrimlari o'z-o'zidan tushuniladigan tushunchalar bo'lsa, ayrim tushunchalar esa ma'lum tushunchalarga asoslangan holda mantiqiy mulohazalar yuritish asosida ta'riflanadi. Boshqacha aytganda, tushunchalar ta'riflanmaydigan va ta'- riflanadigan tushunchalarga bo'linadi. Ta 'riflanmaydigan tllshllnchalar insonning ko 'p asrlik amaliy-ijodiy faoliyatining natijasi bo'lib, lliar boshlang'ich tllshllnchalar deb Yllritiladi. Bularsiz har qanday nazariyani, jumladan, matematikani fan sifatida aksiomatik tuzish mum kin emas. Boshlang'ich tushunchalar asosida nazariyaning aksiomalari tuziladi.
Shllningdek, berilgan nazariyani aksiomatik qllrishda uning teoremalarini isbotlash uchun aksiomalar yetarli bo 'lishi zarur. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, bitta nazariya bir necha yo'llar bilan aksiomatik qurilishi mumkin. Bu yo'llar bir-biridan tanlab olingan boshlang'ich tushuncha va munosabatlari, ularga oid aksiomalar sistemasi bilan farqlanadi. Natural sonlar nazariyasi ham bir necha yo'llar bilan aksiomatik qurilgan: 1) to'plam nazariyasi asosida (sanoq sonlar nazariyasi); 2) peano aksiomalari asosida (tartib sonlar nazariyasi); 3) miqdor tushunchasi asosida (miqdor sonlar nazariyasi). Nomanfiy butun son tushunchasi.
Nomanfiy butun sonlar to'plamini to'plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda G. Kantor tomonidan to'plamlar nazariyasi yaratilgandan so'ng mumkin bo'ldi. Bu nazariya asosida chekli to'plam va o'zaro bir qiymatli moslik tushunchalari yotadi. I-t a' r if. Agar A va B to 'plamlar orasida a 'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo '[sa, bu to 'plamlar teng quvvatli deyifadi. A - B ko'rinishda yoziladi. «Teng quvvatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo'lgani uchun u ekvivalentlik munosabati bo'ladi va barcha chekli to'plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli elementli to'plamlar yig'ilgan bo'lib, ularning umumiy xossasi teng quvvatli ekanligidir.
t a' r if. Natural son deb, bo'sh bo'lmagan chekli teng quvvatli to 'plamlar sinfining umumiy xossasiga aytiladi.
t a ' r i f. Bo'sh to 'plamlar sinfining umumiy xossasiga esa son o soni deyiladi, 0 = n(0). o soni va barcha natural sonlar birgalikda nomanfiy butun sonlar to'plamini tashkil qiladi.
Nomanfiy butun sonlar yig'indisi, uning mavjudligi va yagonaligi. To'plamlar ustida bajariladigan har bir amalga shu 60 to'plamlar bilan aniqlanadigan sonlar ustidagi amallar mos keladi. Masalan, o'zaro kesishmaydigan A va B to'plamlar birlashmasidan iborat C to'plam A va B to'plamlar bilan aniqlanadigan a va b nomanfiy butun sonlarning yig'indisi deb ataluvchi c sonni aniqlaydi. t a' r i f. Butun nomanfiy a va b sonlarning yig'indisi deb n(A) = a; n(B) = b bo'lib, kesishmaydigan A va B to 'plamlar birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi. a + b = n(Av B), bu yerda n(A) = a; n(B) = b va AI\B = 0. Berilgan ta'rifdan foydalanib, 5 + 2 = 7 bo'lishini tushuntiramiz. 5 - bu biror A to'plamning elementlari soni, 2 - biror B to'plamning elementlari soni, bunda ularning kesishmasi bo'sh to'plam bo'lishi kerak. Masalan, A = {x; y; z; t; p}, B = {a; b} to'plamlarni olamiz. Ularni birlashtiramiz: Av B = {x; y; z; t; p; a; b}. Sanash yo'li bilan n(Av B) = 7 ekanligini aniqlaymiz. Demak, 5 + 2 = 7.
Umuman, a + b yig'indi n(A) = a, n(B) = b shartni qanoatlantiruvchi kesishmaydigan A va B to'plamlarning tanlanishiga bog'liq emas. Bu umumiy da'voni biz isbotsiz qabul qilamiz. Bundan tashqari, butun nomanfiy sonlar yig'indisi har doim mavjud va yagonadir. Boshqacha aytganda, biz qanday ikkita nomanfiy a va b sonlar olmaylik, ularning yig'indisi - butun nomanfiy c sonni har doim topish mumkin. U berilgan a va b sonlar uchun yagona bo'ladi. Yig'indining mavjudligi va yagonaligi ikki to'plam birlashmasining mavjudligi va yagonaligidan kelib chiqadi. Yig'indi ta'rifidan foydalanib, «kichik» munosabatiga boshqacha ta'rif berish mumkin: 7 -t a' r i f. Va, bEN uchun a = b + c bo'ladigan c son topilsa, b < a (yoki a > b) deyiladi. (Va, bE N)(3c E N)(b < a ¢> a = b + c).
1.Ta’rif: Butun manfiy a va b sonlarning ayirmasi deb n(A)=a, n(B)=b va B A shartlar bajarilganda, B to’plamni A to’plamgacha to’ldiruvchi to’plam elementlari soniga aytiladi.
A
Agar, a, b, s - butun nomanfiy sonlar bo’lsa, u holda:

a) bo’lganda bo’ladi;

b) bo’lganda bo’ladi;
v) va bo’lganda yuqoridagi formulaning ixtiyoriy bittasidan foydalanish mumkin.

Nomerlash bo’yicha asosiy tayanch tushunchalar 10 ichida 1- 10 sonlarni o`qish, yozish, taqqoslash, ikkita sondan iborat tarkibi; natural qatorning hosil bo`lish printsipi, matematik simvolika qo`llanilishi, geometrik shakllar bilan ishlash, nol (0) soni va raqami, narsalarni ongli va myexanik sanash, guruhlab sanash, didaktik o`yinlar tuzish, 10 tiyinni maydalash va hosil qilish hafta, amal, keyin, Santimetr, kg, litr 100 ichida «O`nlik», xona, xona birligi, 2 xonali sonlarni o`qi shva yozish qoidalari, son Bilan raqam farqi, sonlarni biriktirish orqali qo`shish va ayirish usullari, distyemetr, metr, soat, minut, 20 tiyin, 90 tiyin, 1 so`m maydalash va hosil qilish, taqqoslash, x,: belgilari, og`zaki va yozma nomerlash, abak, geometrik shakllari chizish, yasash. 1000 ichida «Yuzlik», III xona birligi, 3 xonali sonlarni qo`shish va yozish, raqamlarning o`rin qiymati printsipi, 3 xonali sonlarni biriktirish orqali qo`shish va ayirish, taqqoslash, 3 xonali sonni yuzlik, o`nlik, birliklar yig`inidsi ko`rinishida yozish. Mm, km, kun, oy, yil, sekund, asr, vaqt, diametr, sigmyent, sektor, dm kub, m kub, narx, ularni boshqa birlikda ifodalash, geometrik shakllarni o`lchash, qismlarga bo`lish, taqqoslash. Ko`p xonali sonlar ichida «Minglik», «sinf» tushunchasi sonlarning o`nli tarkibi, 4-9 xonali sonlarni o`qish va yozish, taqqoslash, sonlarni 10, 100, 1000 marta orttirish va kamaytirish. O`nli sannoq sistemasi, pozitsion va norozitsion sannoq sistyemalari, miqdorlar orasidagi munosabatlarni mustahkamlash cho`tda ishlash sonni tahlil qilish. 1 - § Nomerlashni o`rganish metodikasining umumiy masalalari. Butun nomanfiy sonlarni nomerlash va ular ustida amallar bajarish boshlang`ich matematika kursida asosiy mavzulardan hisoblanadi. Algebra va geometriya elementlari arifmetik bilimlar tizimiga imkoni boricha kiritiladi, natijada son, arifmetik amallar va musbatlar haqidagi tushunchalarni yuqoriroq darajada o`zlashtirish ta'minlanadi. Natural son va nol ustida ishlash boshlang`ich sinflarda 4 yil o`qish davomida olib boriladi. Matematika dasturi natural son va nol haqidagi ma'lumotlarni astasekin 10, 100, 1000, ko`p xonali sonlar konsentrlari bo`yicha kiritishni nazarda tutib tuzilgan. Kontsyentlarga ajratish o`nli sanoq sistemasining xususiyatlari bilan, sonlarni og`zaki, yozma nomerlash bilan bog`liq bo`lgan asosiy masalalarni takror-takror qarashga imkon beradi. Birinchi o`nlikni o`rganishda narsalarni sanash, 1-10 sonlarining nomlarini, ketma-ketligi, belgilanishini, sonlarni taqqoslashning turli usullarini (predmetlarning mos to’plamlari ustida amallar bajarish asosida va taqqoslanayotgan sonlarning qatorida egallangan o`rni bo`yicha sonlarning tarkiblarini) o`zlashtirib olish nazarda tutiladi. O`quvchilarda o`qitishning dastlabki vaqtlaridayoq ba'zi muhim umumlashtirishlar shakllanadi, masalan natural qatoridagi har bir navbatdagi son qanday hosil bo`lishi aniqlanadi, qatorning ixtiyoriy soni bilan undan oldin keladigan va keyin keladigan sonlar orasidagi munosabatlar o`rnatiladi va h k. O`nlik ichida sonlarni o`rganishda nol soni bilan ham tanishiladi. Bunda nol bo`sh to`plam xaraktyeristikasi sifatida kiritiladi. Amaldagi dasturga asosan ikkinchi o`nlik alohida konsentrga ajratilmaydi. Ammo, 100 lik ichida nomerlashni o`rganishda 2 sinf matematika darsligida oldin 11-20, so`ngra 21-100 ichida nomerlash qaraladi. Sonlarni nomerlashni o`rganishda 2-o`nlikni o`rganish sonlarning o`nli tarkibini va raqamlarning o`rin-qiymati printsipini yaxshi o`zlashtirishga yordam beradi, o`quvchilar uchun yangi bilimni shakllantiradi, ya'ni sanoq birligi sifatida o`nlik tushunchasini shakllantiradi. Shu bilan birga sonlarni og`zaki va yozma nomerlash, shu sonlarning o`nli tarkibi o`rganiladi. Sonlarning natural ketma-ketligi va o`nli tarkibini bilganlik asosida 13-1, 17-1, 10-3, 16-6, 19-10 ko`rinishdagi qo`shish va ayrish hollari qaraladi. Sonlarni 1000 va ko`p xonali sonlar ichida nomerlashni o`rganishda yuzlik, minglik tushunchalari bilan tanishadilar, yangi sanoq birliklari hosil bo`lish printsipini, sinf tushunchalarini o`zlashtiriladi. 2-§. «O`nlik» ichida sonlarni nomerlashni o`rganish metodikasi. 10 ichida nomerlash va oraliq arifmetik amallar ba'zi bir o`ziga xos tomonlariga ega. 10 - o`nlik sanoq sistemasining asosi, shu sababli 1-10 sonlari oddiy birikmalarni sanash natijasidir. Shu munosabat bilan 1-10 sonlarining har birini belgilash uchun og`zaki ifodalashda alohida so`z, yozuvda esa maxsus belgi ishlatiladi. 10 ichida qo`shish va ayrish sanash bilan uzviy bog`langan. Hisoblashlarda har gal sanashga hojat bo`lmasligi uchun, amallarning natijalarini yod olish kerak. Uncha katta bo`lmagan sonlar o`quvchilarda matematik tushunchalarni o`zlashtirish uchun yaxshi sharoitlar yaratadi. Bolalar bog`chalari va tayyorlov sinflarida sonlarni va arifmetik amallarni o`rganish bilan bog`liq bo`lgan bir qator masalalarni qaraladi: - 10 ichida sanash ko`nikmalarini o`zlashtirish; - tartib va sanoq sonlar birliklari tarkibi; - sonning ikkita kichik sondan iborat tarkibi; - qo`shni sonlar orasidagi munosabatlar; - to`g`ri va tyeskari sanoq;… 10 ichida sanash sanashni egallash asosi chunki boshqa xona birliklari ham xuddi oddiy birlar kabi sanaladi. Birinchi o`nlik sonlarning nomlari va belgilanishi boshqa istalgan ko`p xonali sonni o`qish va belgilash uchun asos bo`lib xizmat qiladi. Shu sababli o`qituvchining birinchi navbatdagi vazifasi 1-sinfga kelgan bolalarning matematik tayyorgarligi darajalarini aniqlashdan iborat. Bunday tyekshirishni bolalarni maktabga qabul qilish vaqtida, yoki dastlabki mashg`ulotlar davomida amalga oshirish mumkin. Bilimlarni tyekshirishda atmosfyera samimiy bo`lishi kerak. Bolalarning bilimlarini va malakalarini aniqlash uchun quyidagicha ish olib borish lozim. 1. Syen sanay olasanmi? Sanachi. 2. Bu doirachalarni sana. Doirachalar qancha (7-9ta). 3. Stolda nechta qalam bo`lsa, chap qo`lingga shuncha qalam ol. (4-7 dona). 4. Qaysi doirachalar ko`p: qizillarmi yoki ko`klarmi (6 ta qizil, 7 ta kichik ko`k doiracha). 5. Rasmga qara («Sholg`om» ertagi) va kuchukcha oldida mushukdan keyin, nyevara bilan mushuk orasida nimalar (kimlar) turibdi? Tyekshirishning borishida bolalar geometrik figuralarni taniy olishlari va farq qila olishlarini, sodda misol va masalalarni yecha olishlarini aniqlash maqsadga muvofiq. Birinchi o`nlik sonlarni o`rganishda tayyorgarlik davri va raqamlari haqida sonlar bilan tanishtirish davri ajratiladi. Tayyorgarlik davrining asosiy vazifasi o`nlik ichida nomerlashda zarur bo`ladigan bilimlar, malakalar va ko`nikmalarni aniqlash, ularni to`ldirish va sistyemalashtirishdan iborat. Tayyorgarlik davri mashqlari quyidagicha ko`rinishda bo`lishi mumkin. 1. Predmetlar, tovush va harakatlarni sanash. Birinchi mashqlar sinfda mavjud bo`lgan predmetlar, eshik, deraza, parta, stol, stul, bir hatordagi bolalar… kabilarni sanash doir bo`ladi. Shundan keyin qo`lga olib, surib sanash uchun mayda predmetlardan foydalanish zarur. Har bir o`quvchida 20 tadan sanoq cho`pi bo`lsa, sanashni tashkil qilish oson bo`ladi. Bundan tashqari sanash uchun predmet rasmlardan, darslik boshidagi sahifalarda berilgan rasmlardan foydalanish foydali. Shu bilan birga bolalarni tovushlarni sanash bo`yicha va harakatlarni (qadam) sanash bo`yicha ham mashq qildirish kerak. Sanash jarayonida bolalarni «qancha» so`zi bilan savollar ho`yishga mashq qildirish muhimdir, bunda sanoqda oxirgi aytilgan son sanalayotgan predmetlar «qancha» deb qo`yilgan savolga javob bo`lishini tushuntirish kerak. Shuningdek, predmetlarni o`ngdan chapga yoki chapdan o`ngga, pastdan yuhoriga, yuhoridan pastga qarab sanaganda sanoq natijasi o`zgarmasligi, asosan ulardan birortasini ikki marta qoldirmasdan sanamaslik va qoldirmasdan sanash kerakligini o`rgatish lozim. Predmetlarni sanashga bag`ishlangan darslarda ikkitalab, uchtalab, beshtalab … sanashga ham o`rgatish kerak.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1.Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007.
2.Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU.
3. https://fayllar.org/