SəRBƏst iŞ kafedra: MÜHƏNDİs riyaziyyati fəNN: Rİyazi analiz müƏLLİM: azadə tahirova baki-2021

AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI TƏHSİL NAZİRLİYİ

AZƏRBAYCAN TEXNİKİ UNİVERSTETİ



SƏRBƏST İŞ
KAFEDRA: MÜHƏNDİS RİYAZİYYATI

FƏNN: RİYAZİ ANALİZ

MÜƏLLİM: AZADƏ TAHİROVA

BAKI-2021

Yüksək tərtibli törəmənin köməyi ilə funksiyanın ekstremumunun tədqiqi

Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyası üç-ölçülü fəzada verilmişdir və onun hər hansı M_o = (x_o, y_o, z_o) nöqtəsindən vahid (cos vektoru isdiqamətində keçən l düz xətti verilmişdir. Burada vahid vektorunun koordinat oxlarının müsbət istiqaməti ilə əmələ qətirdiyi bucaqlardır. M_oM = parçası üçün:

,

, (1)

alırıq. Bu halda f funksiyası l düz xətti üzərində mürəkkəb funksiya olur:

f (x, y, z) = f ( ) (2)

Tərif. Əgər (2) funksiyasının dəyişəninə görə nöqtəsində törəməsi varsa, onda həmin törəməyə f funksiyasınının M_o nöqtəsində verilmiı l istiqaməti üzrə törəməsi deyilir və kimi işarə olunur.

Deməli, istiqamət üzrə törəmə koordinat oxlarının anlayışının ümümiləşməsidir.

Teorem. Verilmiş (x_o, y_o, z_o) nöqtəsində diferensiallanan f funksiyasının həmin nöqtədə istənilən l istiqaməti üzrə törəməsi var və həmin törəmə

= + + (3)

Funksiyanın törəməsi onun dəyişmə süətini göstərir, ona görə də çoxdəyişənli funksiyanın verilmiş M nöqtədə l istiqamətində törəməsinə onun həmin nöqtədə l istiqaməti üzrə dəyişmə sürəti kimi baxmaq olar. Qeyd edək ki, funksiyanın müxtəlif istiqamətlərdə dəyişmə sürəti ümümiyyətlə eyni olmur.

Bir çox məsələlərin həllində bəzən baxılan funksiyanın verilmiş nöqtədə ən böyük sürətlə artma istiqamətini tapmaq tələb olunur.

Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyasının M (x, y, z) nöqtəsindən xüsusi , , sonlu törəmələri var. Bu xüsusi törəmələr vasitəsilə

= + (1)

vektorunu düzəldək. vektoruna f funksiyasının M nöqtəsində qradiyenti deyilir və

(2)

+ (3)
və vahid vektoru arasındakı bucaqı φ işarə etsək, onda vektorların skalyar hasilinin tərifinə əsasən:

= · cos φ (4)

münasibəti alınır.

Buradan aydındır ki, max cos0 = 1 qiymətinə görə funksiyanın M nöqtəsində l istiqaməti üzrə törəməsinin ən böyük olması üçün φ=0 olmalıdır, yəni funksiyanın törəməsi qradiyentin təyin etdiyi istiqamət üzrə götürülməlidir:

_max = = (5)

Çox vaxt funskiyanın qradiyentini Hamilton operatoru adlanan

= + (6)

vektor operatoru vasitəsilə ifadə edirlər ( işarəsi Nabla adlanır) :

(7)
Şərti ekstremum. funksiyasının və dəyişənləri şərtini ödədikdə alınan ekstremuma şərti ekstremum deyilir.

və kəmiyyətlərini tapmaq üçün (onlar həm funk­siyası üçün şərti maksimum və ya şərti minimum nöqtəsini verə bilməlidirlər, həm də şərtini ödəməlidirlər) aşağıdakı köməkçi funksiyanı tərtib edək:

,

burada - köməkçi vuruqdur. Ekstremumun varlığı üçün zəruri şərti nəzərə almaqla aşağıdakı bərabərlikləri yazaq

Bu tənliklərdən axtarılan , məchullarını və köməkçi vuruğunu təyin etmək lazımdır.

Misal 1. və dəyişənləri şərtini ödədikdə, funksiyasının ekstremumunu tapın.

Köməkçi funksiya düzəldək: .

,

olduğundan aşağıdakı

tənliklər sistemindən tapırıq: , , . Asanlıqla gös­tərmək olar ki, funksiyası nöqtəsində ən böyük qiymət alır: .