Uzluksizlik ni umumlastirish

Mavzu: Funksiyalar kompozitsiyasining uzluksizligi.
Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari.
Elementar funksiyalarning uzluksizligi.
Bir tomonli uzluksizlik.

Ravshanki, agar nuqta ning ajralgan nuqtasi bo`lsa, funksiya shu nuqtada uzluksizdir.

Haqiqatan ham, nuqta ning ajralgan nuqtasi bo`lgani uchun (3) shart o`rinli. Shu yerdagi soni uzluksizlik ta’rifidan bo`lib xizmat qiladi. Chunki, ekanligi ni anglatadi va

nuqta ning limit nuqtasi bo`lsin. U holda funksiyaning nuqtadagi uzluksizligining (1) sharti funksiya limitining « » tilidagi ta’rifiga ko`ra
(4)
ekanligini anglatadi.
Shunday qilib, funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi shu nuqta funksiya aniqlanish sohasining limit nuqtasi bo`lganda mazmunli ma’noga ega.
Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini ketma-ketliklar tilida (Geyne bo`yicha) ham ifodalash mumkin. Ravshanki, quyidagi teorema o`rinlidir.
Teorema 1. funksiyaning nuqtada uzluksiz bo`lishi uchun quyidagi shartning bajarilishi yetarli va zarurdir:

(5)
Haqiqatan ham, ning limit nuqtasi bo`lsa, u holda (5) shart (4) ni ya’ni ning nuqtadagi uzluksizligini anglatadi.
Agar ning ajratilgan nuqtasi bo`lsa, u holda bu nuqtada funksiya uzluksiz va tenglik yetarli katta larda ning o`zgarmas, ya’ni ekanligini anglatadi. Bu holda yetarli katta lar uchun va (5) shart bajariladi.
Agar funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini ta’rifidagi (2) shart o`rniga (5) shart talab qilinsa, u holda funksiyaning nuqtadagi uzluksizligining ketma-ketliklar tilidagi (Geyne bo`yicha) ta’rifi hosil bo`ladi. Teorema 1 esa funksiya uzluksizligining « » va ketma-ketliklar tilidagi («Koshi» va «Geyne» bo`yicha) ta’riflarining o`zaro ekvivalentligini ko`rsatadi.
Agar funksiya to‘plamning har qanday nuqtasida uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya da uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda buni quyidagicha belgilanadi:
Shunday qilib, yozuv da uzluksiz bo`lgan barcha haqiqiy funksiyalar to`plamini belgilaydi.
Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo`lmasa, u shu nuqtada uzilishga ega, nuqta esa uning uzilish nuqtasi deyiladi.
Bu yerda shuni ta’kidlash kerakki, funksiyaning berilgan nuqtadagi uzluksizligi uning shu nuqtaning yetarli kichik atrofidagi tabiati bilan aniqlanadi, ya’ni u lokal (mahalliy) tushunchadir.
Misollar.
1. funksiya da aniqlangan va u ixtiyoriy nuqtada uzluksizdir. Haqiqatan ham, har bir nuqta uchun limit nuqta va
2. Keltirilgan birinchi misolni « » tilida hal qilaylik.
Biz ixtiyoriy soniga ko`ra shunday sonini ko`rsatishimiz kerakki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun bo`lsin. Ta’minlanishi kerak bo`lgan oxirgi tengsizlikni ko`rinishda yozish mumkin.
Agar qaralayotgan lar uchun desak, u holda bo`ladi. Bunday lar uchun, agar ,
desak, u holda ta’minlanishi kerak bo`lgan tengsizlik bajariladi.
Shunday qilib, agar desak, u holda
.
3. funksiya nuqtalarda aniqlangan, ya’ni
Ravshanki, nuqtada funksiya uzilishga ega. funksiya da uzluksiz. Isbotni ketma-ketliklar tilida bajaramiz.
◄ ekanligidan ekanligini isbotlash talab qilinadi. Bu quyidagidan ravshan:

Endi keltirilgan tasdiqni « » tilida isbotlaymiz. ►
◄ bo`lsin. Ixtiyoriy soniga ko`ra shunday topishimiz kerakki, ekanligidan kelib chiqsin.
Ravshanki,
Bu tenglikning o`ng tomonini yuqoridan baholash maqsadida uning maxrajini quyidan baholashimiz kerak, shuning uchun deb faraz qilamiz. U holda

bo`ladi. Demak, qaralayotgan lar uchun
Shuning uchun, agar ya’ni desak, u holda qaralayotgan lar uchun, bo`ladi.
va tengsizliklarni ta’minlash uchun deyish kifoya.
Shunday qilib, soniga ko`ra ta’rifda unga mos keluvchi ni ko`rsatdik. ►
4. Ushbu

funksiya ixtiyoriy nuqtada aniqlangan; u da uzluksizdir. ning nuqtada uzluksizligi nisbatining limiti limitlar nisbatiga teng ekanligidan kelib chiqadi. Uning nuqtadagi uzluksizligi esa 1-ajoyib limitdan ravshan:

5. Ushbu

Dirixle funksiyasi ixtiyoriy nuqtada uzilishga ega, chunki bu funksiyaning har qanday nuqtada limiti mavjud emas.
6. funksiya (Bu yerda Dirixle funksiyasi) faqat nuqtadagina uzluksiz, qolgan barcha nuqtalarda uzilishga ega.
nuqtada funksiyaning uzilishga ega ekanligi limitning mavjud emasligidan kelib chiqadi. Uning 0 nuqtadagi uzluksizligi esa quyidagidan ravshan:
( chegaralangan funksiya).