§. Natural va butun sonlar

2 - §. Sonlarning ixtiyoriy natural songa bo’linish belgilari.
Siz quyidagi bir nechta oddiy lekin muhim bo’lgan teoremalarni eslab qolishingiz shart.
1.Agar a-b va b-c sonlari m soniga qoldiqsiz bo’linsa, a-c soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.
2.Agar a-b va c-d sonlari m soniga qoldiqsiz bo’linsa, a+c- (b+d) soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.
3.Agar a-b soni m soniga qoldiqsiz bo’linsa, aⁿ-bⁿ soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.
4.Agar a-b soni m soniga qoldiqsiz bo’linsa, ak-bk soni ham mk soniga qoldiqsiz bo’linadi.
5.aⁿ-bⁿ soni a – b soniga qoldiqsiz bo’linadi.
6.a^2n-1+b^2n-1 soni a+b soniga qoldiqsiz bo’linadi.
7. a²ⁿ – b²ⁿ soni a+b soniga qoldiqsiz bo’linadi.
8.(a+b)ⁿ sonini a soniga bo’lgandagi qoldiq bⁿ sonini a soniga bo’lgandagi qoldiqqa tengdir.
Misol: 10ⁱ sonini 9 ga bo’lgandagi qoldiqni aniqlang.
Yechimi: 10ⁱ = (9+1)ⁱ ko’rinishida yozib olamiz.
Yuqoridagi 8-teorema yordamida (9+1)ⁱ sonini 9 ga bo’lganda qoldiq 1ⁱ sonini 9 ga bo’lgandagi qoldiqqa tengdir yani o’nning har qanday darajasini 9 ga bo’lganda qoldiq 1 ga teng bo’lar ekan.
Bu yuqoridagi teoremalarni o’zingiz isbotlashga harakat qiling.
Sizga ajoyib quyidagi Paskal aniqlagan natural sonlarning umumiy bo’linish alomatlarini aniqlab beruvchi formulasini tanishtirib o’tamiz.
N natural sonni ixtiyoriy m natural songa bo’linish alomatini aniqlaymiz.O’nlik sanoq sistemasida N natural soni quyidagicha yozilgan N = va r_i – 10ⁱ sonini m natural songa bo’lganda qoldiq bo’lsin. U holda a_nr_n + a_n-1r_{n-1 + …….+} a₁r₁ + a₀ son m natural songa bo’linsa, N natural son ham m natural songa bo’linadi.
Misol: Bu yuqoridagi Paskalning aniqlagan umumiy bo’linish alomati yordamida natural sonning 9 ga bo’linish alomatini aniqlaymiz.
Yechimi: Ixtiyoriy natural N sonni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
N= = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1+…..+a₁10+a₀
Sizga ma’lumki 10ⁱ sonini 9 ga bo’lganda qoldiq 1 bo’lishini yuqorida aniqlagan edik. Buning yordamida va Paskal qoidasiga asosan N natural son 9 ga qoldiqsiz bo’linishi uchun a_n+a_n-1+a_n-2 +…+a₁+a₀ son 9 ga qoldiqsiz bo’linishi kerak. Buni boshqacha qilib aytganda N natural sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa, shu natural sonning o’zi ham 9 ga qoldiqsiz bo’linadi.