§. Natural va butun sonlar

6 - §. Sonning butun va kasr qismi.
x haqiqiy sonning butun qismi deb, x dan oshmaydigan eng katta butun songa aytiladi.
X sonining butun qismi [x] ko’rinishida yoziladi.
Misol uchun [3,8] = 4, [-3,8] = -4
Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o’rinlidir.
[x] x <[x]+1
X haqiqiy sonining kasr qismi deb, x va uning butun qismi ayirmasiga aytiladi.
X sonining kasr qismi {x} ko’rinishida yoziladi.
Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tengliklar o’rinlidir.
x = [x] + {x}, {x} = x - [x]
Misol uchun {3,8} = 3,8-3 = 0,8 , {-3,8} = (-3,8) – (-4) =0,2
X haqiqiy sonning butun qismi doimo butun son bo’ladi: Ya’ni [x] Z
X haqiqiy sonning kasr qismi doimo quyidagi shartni qanoatlantiradi.
0 {x}<1
X haqiqiy son va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik doimo qanoatlantiradi.
[x+n] = [x] + n
Misol uchun [3,8 + 4] = [3,8]+4
6-Mashq.
1.[x-1] + [x+3] = 12 tenglamani yeching
2. [x] – [x+2] +[x+4] = 18 tenglamani yeching.
3. [-2x] + [1-2x] + [3-2x] = 1 tenglamani yeching.
4. [x] = x tenglamani yeching.
5. [2x-1] = x+1 tenglamani yeching.
6. [ ] = tenglamani yeching.
7. [3x² -x] = x+1 tenglamani yeching.
8. [ x²] = x tenglamani yeching.
9. Agar a sonini m soniga bo’lganda qoldiq r bo’lsa,
[ ] = tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
10.Agar n N shart o’rinli bo’lsa, tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
11. Agar EKUB (a;4) = 1 shart o’rinli bo’lsa, tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
12. [x] = 3x+1 tenglamani yeching.
13. [x] {x} = 1 tenglamani yeching.
14. {x} = 1-x tenglamani yeching.
15. x = 2[x] –{x} tenglamani yeching.
7 - §. Algebraik ifodalar
Ko’phadlarning umumiy ko’rinishi P(x) = a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…….+a₂x² + a₁x+a₀ shaklda bo’ladi. Agar x=1 qiymatni P(x) ko’phadga qo’ysak
P(1) = a_n 1ⁿ +a_n-1 1^n-1+…….+a₂ 1² + a₁ 1+a₀ = a_n +a_n-1+a_n-2+……+a₂ + a₁ + a₀ (1)
ko’rinishda bo’ladi. Bundan shuni xulosa qilish mumkinki ko’phadning koeffitsientlari yig’indisini topish uchun P(1) ko’phadning qiymatini hisoblash kerak ekan.
Faraz qilaylik agar n juft son bo’lsa, x=-1 qiymatda P(-1) = a_n (-1)ⁿ +a_n-1 (-1)^n-1+…….+a₂ (-1)² + a₁ (-1)+a₀ = a_n -a_n-1+a_n-2+……+a₂ - a₁ + a₀ (2)
shaklda bo’ladi.
Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni qo’shib yuborsak
P(1)+P(-1) = 2a_n + 2a_n-2 + ……+2a₂ +2a₀ (3)
shakl hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (3) ifodani quyidagicha shaklda yozib olamiz.
a_n + a_n-2 + ……+a₂ +a₀ = (P(1)+P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning juft darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi.
Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni ayirib yuborsak
P(1) – P(-1) = 2a_n-1 + 2a_n-3 +…..+2a₃ +2a₁ (4)
tenglik hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (4) ifodani quyidagicha shaklda yozib olish mumkin.
a_n-1 + a_n-3 +…..+a₃ +a₁ = (P(1)-P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning toq darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi. Biz n son juft bo’lgan holatdagi ko’phad bo’yicha ko’rib chiqdik. Yuqoridagi hosil bo’lgan natijaviy shartlar n toq son bo’lgan holatda ham o’rinli bo’ladi. Bunga o’zingiz mustaqil ravishda ishonch hosil qilib ko’ring.
Sizga algebraik ifodalarning boshlang’ich nazariyasidan qisqa ko’paytirish formulalarining oddiy shakllari ya’ni (a b)² va (a b)³ ko’phadlar yoyilmasi shaklda yozish ma’lumdir.
Bu qisqa ko’paytirish formulalarni ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda siz darajada qaysi son turgan bo’lsa, shuncha ko’paytuvchilarga ajratib so’ngra ko’paytmani hisoblash kerak edi. Ya’ni
(a b)² = (a b) (a b) = a² 2ab+b²
(a b)³ = (a b) (a b) (a b)= a³ 3a²b+3ab² b³
Siz bu amallarni har doim takrorlamasligiz uchun oxirida hosil bo’lgan ko’phad yoyilmasini yod olishga majbur edingiz. Lekin siz bu yuqoridagi amallarni darajasi 2,3 yoki ko’pi bilan 4 bo’lgan holatda bajara olishingiz mumkin. Siz bilan birgalikda umumiy holatda (a+b)ⁿ ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda 2 ta buyuk matematik Paskal va Nyutonning ishlarini ko’rib chiqamiz.

1. 
   Paskal aniqlagan usul.
   

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

1. 
   4 6 4 1
   

1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……………………….
Bu yuqoridagi ajoyib uchburchak matematikada Paskal uchburchagi deb nom olgan. Bu uchburchakning har bir qatoridagi son o’zidan oldingi turgan qatorning o’sha o’rindagi va bitta oldingi sonning yig’indisiga teng. Ya’ni 6 – qatorning 3 o’rnida 10 soni turibdi. Bu son 5 - qatorning 3 o’rnidagi va 2 o’rnidagi sonlar yig’indisiga tengdir.
Bu uchburchakning har bir qatoridagi sonlar (a+b)ⁿdarajani ko’phad yoyilmasi shaklda yoyishdagi koeffitsiyentlarga tengdir.
Misol: (a+b)⁵ va (a-b)⁵ darajalarni Paskal uchburchagi yordamida ochib chiqamiz.
(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
(a-b)⁵ = (a+(-b))⁵ = a⁵ +5a⁴(-b)+10a³(-b)²+10a²(-b)³+5a(-b)⁴+(-b)⁵= a⁵-5a⁴b+10a³b²-10a²b³+5ab⁴-b⁵
2)Nyuton aniqlagan usul.

Bu Nyuton tomonidan aniqlangan usul Nyuton binomi deyiladi. - binomial koeffitsiyent deyiladi va tenglik orqali hisoblanadi.
Misol: (x+y)⁶ darajani Nyuton binomi usulida ochib chiqamiz.
=x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³+15x²y⁴+6xy⁵+y⁶

1. 
   Ko’phadlarni ko’paytuvchilarga ajrating.
   

1.1) x⁴+x²+1 1.2) x¹⁶-1 1.3) x⁸+x⁴+1 1.4) 2x⁴+x³+4x²+x+2 1.5) x⁴-12x³+47x²-60x 1.6) x⁵+x⁴+1 1.7) y²z²(y²-z²) + x²z²(z²-x²)+x²y²(x²-y²) 1.8) x(y²-z²)+y(z²-x²)+z(x²-y²) 1.9) (b-c)(b+c)²+(c-a)(c+a)²+(a-b)(a+b)² 1.10) a(b-c)³+b(c-a)³+c(a-b)³ 1.11) x(y+z)(y²-z²) + y(z+x)(z²-x²)+z(y+x)(x²-y²) 1.12) x⁶+27 1.13) x⁴+3x²+4 1.14) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 1.15) x⁴+4y⁴ 1.16) 27x³-27x²+18x-4 1.17) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 1.18) x³+y³+z³-3xyz 1.19) (x²+x+1)² + 3x(x²+x+1)+2x² 1.20) x²y²-x²+4xy-y²+1 1.21) [a(x+y)+b(x-y)]²-[a(x-y)+b(x+y)]² 1.22) x⁶-y⁶+x⁴+x²y²+y⁴ 1.23) 9x³+7x²-7x-9 1.24) 2x⁴+7x³-2x²-13x+6 1.25) x(x+1)(x+2)(x+3)+1 1.26) a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2a²c²-2b²c² 1.27) (x²+x-1)(x²+3x-1)+x² 1.28) x⁴+5x²+9 1.29) (x+1)⁴ +2(x+1)³+x(x+2) 1.30) x³+9x²+11x-21 1.31) x²-3xy+2y²-2x+4y 1.32) x³+2y³-3xy² 1.33) (x+y)⁴ +x⁴+y⁴ 1.34) x²y + xy²+x²z+xz²+y²z+yz²+2xyz 1.35) x⁵+x+1 1.36) x⁵+x⁴+1 1.37) a⁴(b-c) + b⁴(c-a)+c⁴(a-b) 1.38) (x-y)(y+z)(z+x)+(y-z)(z+x)(x+y)+(z-x)(x+y)(y+z) 1.39) x⁹ + 5x⁵+ x⁴+4x+4
2. Quyidagi darajalarni ko’phad shaklni aniqlang.
2.1) (x+2y)⁶ 2.2) (x-2y)⁶ 2.3) 2.4) 2.5) 2.6) 2.7) 2.8)
3. Berilgan binom yoyilmasida x qatnashmagan had koeffitsiyentini toping.
4. Agar binom yoyilmasida beshincha had x ga bog’liq bo’lmasa, n ning qiymatini aniqlang.
5. (1+x-3x²)²⁰¹⁸ ifodada qavslarni ochib, o’xshash hadlari ixchamlagandan so’ng hosil bo’lgan ko’phadning koeffitsiyentlari yig’indisini toping.
6. (1+x-3x²)²⁰¹⁸ ifodada qavslarni ochib, o’xshash hadlari ixchamlagandan so’ng hosil bo’lgan ko’phadning juft darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisini aniqlang.
7. (1+x-3x²)²⁰¹⁸ ifodada qavslarni ochib, o’xshash hadlari ixchamlagandan so’ng hosil bo’lgan ko’phadning toq darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisini aniqlang.
8. (1+x)ⁿ +(1+x)ⁿ⁺¹ yoyilmaning koeffitsiyentlari yig’indisi 1536 ga teng bo’lsa, x⁶ ning oldidagi koeffitsiyentini aniqlang.
9. (x+3)¹⁰⁰ = a₀+a₁x +……+a₁₀₀x¹⁰⁰ shaklda bo’lsa, quyidagilarning qiymatini aniqlang.
9.1) a₄₅ 9.2) a₀+a₁ +……+a₁₀₀ 9.3) a₀-a₁+a₂-a₃+……+a₁₀₀
2. Agar nol bo’lmagan a va b haqiqiy sonlar uchun ab=a-b shart o’rinli bo’lsa, ifodaning qiymatini toping.
A)-2 B) C) D)2
10. ni soddalashtiring
11. ni soddalashtiring
12. c ni soddalashtiring
13. ni soddalashtiring

14. ni soddalashtiring

(A) 1 B) 0 C) D)
15. ni soddalashtiring.
A) x+y+z B)x+y-z C)0 D)1
16. ni soddalashtiring.
A)1 B) C) D)
17. Agar a- 3 = x+4y bo’lsa, ax + 3x + 4ay + 12y + 9 ifodaning qiymatini toping.
A) x² B) y² C)a² D)2a²
18. ifodaning x = 6bo’lgandagiqiymatini toping.
A) 3 B)2 C)1,5 D)1,25
19. ifodaning x = 10 bo’lgandagiqiymatini toping.
A) 13/9 B) 7/5 C) 15/11 D) 4/3
20. ifodani x=1 bo’lgandagiqiymatini toping.
A)1 B)0,5 C)2 D)3