§. Natural va butun sonlar

9 - §. Tenglamalar
Agar P_n(x) = a₀xⁿ +a₁ x^n-1+…..+a_n-1x +a_n ko’phadning ildizlari x₁ , x_2,…….,x_n bo’lsa, Vietning umumiy teoremasi quyidagicha.

Bezu teoremasi. x₀ ixtiyoriy sonda P_n(x) ko’phadni (x-x₀) hadga bo’lganda qoldiq P_n(x₀) ga tengdir.
Sizga ax³+bx²+cx+d =0 kubik tenglamaning ildizlari qaysi sonlar oraliqdaligini aniqlash hamda bu ildizlarni o’zi qanday sonlar ekanligini aniqlash bir muncha qiyinchilik tug’dirishi mumkin. Bu qiyinchiliklarni bartaraf etish maqsadida quyidagi bir necha amallarni ko’rib chiqamiz.
Sizga ma’lumki bu kubik tenglama 3 ta ildizga ega. Bu ildizlardan biri haqiqiy qolgan ikkitasi kompleks sonlarda yoki haqiqiy sonlarda bo’lishi mumkin. Biz faqat haqiqiy ildiz qaysi oraliqda ekanligini aniqlaymiz. Asosiy maqsadimiz haqiqiy ildizni topmasdan bu ildiz qaysi oraliqda ekanligini topishdir.
y = ax³+bx²+cx+d ko’phadni ko’rib chiqamiz.
Agar x sonining absolyut qiymatini keraklicha kattalashtirib olsak bunda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.
(1)
(2)
Agar =v va M = max( deb belgilab olsak yuqoridagi 2 tengsizlik quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
(4)
Bu 4 tengsizlik
(5)
tengsizlik shaklida keladi.
Yuqorida takidlab o’tganimizdek absolyut qiymati kattasi bizga qiziqdir.
Yuqoridagi 5 tengsizlik
shaklda bo’ladi.
Biz x ning absolyut qiymatini yetarlicha katta qilib olganimiz sabab, shart ham orinli bo’ladi.
Agar tengsizlikni v ga nisbatan ishlasak
v > >1 yechim olinadi.
X ga nisbatan yechim quyidagicha.
(6)
Bundan ko’rinadiki biz x sonini 6 tengsizlik shartini qanoatlantiruvchi qilib olganda y = ax³+bx²+cx+d ko’phad hech qachon nolga teng bo’lmas ekan.
Ko’phad nolga teng bo’lishi uchun shart o’rinli bo’lishi kerak ekan. Demak kubik ko’phadni nolga aylantiruvchi x qiymatning eng yuqori chegarasini belgilab oldik. Bu chegara A= ga teng bo’lar ekan.
Kubik tenglamani eng past chegarasini ham topish mumkin.
Buni quyidagicha aniqlaymiz.
Agar x = deb belgilab olsak ax³+bx²+cx+d=0 tenglama dz³+cz²+bz+a=0 ko’rinishda bo’ladi. Bu yangi hosil bo’lgan tenglama ildizining eng yuqori chegarasi K= ga teng bo’ladi(bunda N = max( ). Agar inobatga olsak, bu tengsizlikdan tengsizlik hosil bo’ladi.
Yuqorida isbotlab chiqarilgandan ko’rinadiki ax³+bx²+cx+d =0 tenglamaning haqiqiy ildizining yuqori va quyi chegaralari
oraliqlarda bo’lar ekan.
Misol: 2x³ +5x² -4x-3 =0 tenglamaning ildizlari qaysi oraliqda joylashgan.
Yuqorida aniqlangan shartga qo’ysak
tengsizlik hosil bo’ladi.
1. Tenglamani yeching.



A)1 B) C) D)-1
2. 7.  bo’lsa x=?

1. 
    B)  C) D) E) 2
   

3. Tenglamaning ildizlari yig`indisini hisoblang.

A)0,5 B)-1,2 (C)-0,3 D)2,1
4. Tenglamaning natural yechimlari juftini toping.
(A) (48;2) B) (48;3)
C) (49;1) D) (49;2)
5.Nechta natural (x,y) sonlar jufti tenglikni qanoatlantiradi?
A) (B)1 C) 2 D) 3
6. tenglamani haqiqiy ildizini toping. J:x₁=2
7.Tenglamani yeching. (x²+x+1)+(x²+2x+3)+(x²+3x+5)+…+(x²+20x+39)=4500 J: -20,5 va 10
8. ekanligini bilgan holda, ning qiymatini hisoblang.
A) B) 1 C) D)
9. Agar bo’lsa, ga teskari sonni toping.
A) (B) C) D)
10. Agar x va z orasida munosabat o’rinli bo’lsa,xz ning qiymati qancha bo’ladi?
A) 0.25 B) 0.4 C) 0.5 D) 1
11. Agar bo’lsa, xy ni toping.
A) – 6 B) 6 (C) – 8 D) 8
12. (x+1)(x+2)(x+3) = (x–3)(x+4)(x+5) tenglamanechtaildizgaega?
A) 3 B)2 C)1 D)0
13. tenglamanechtaildizgaega?
A)1 B)2 C)3 D)4
14. tenglamanechtaildizgaega?
A)1 B)2 C)3 D)4
15. (x² + x+1)(2x² + 2x + 3) = 3(1 – x – x²) tenglamaning haqiqiy ildizlari yig’indisini toping.
A) -1 B)0 C)2 D)3
16. (x-2)²(x+1)² - (x-2)(x² – 1) – 2(x-1)² = 0 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?
A) 3 B)4 C)2 D)1
17. (x² – 5x+7)² – (x-2)(x-3) = 0 tenglamaning natural sonlarda nechta yechimi mavjud?
A)3 B)2 C)1 D)0
18. (x-2)(x+1)(x+4)(x+7) = 19 tenglama nechta musbat yechimga ega?
A)1 B)2 C)3 D)4
19. (2x²+3x-2)(5-6x-4x²) = -5(2x² + 3x+2) tenglama nechta manfiy yechimga ega?
A)1 B)2 C)3 D)4
20. tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A) 4 B)3 C)-6 D)6
21. tenglamaning ildizlarini o’rta arifmetigini toping.
A)- 1 B)3 C)-4 D)-2
22. tenglamaning ildizlari o’rta arifmetigini toping.
A) -1 B)-2 C)2 D)1
23. 7(x+ ) – 2( = 9 tenglamaning ildizlari ko’paytmasini toping.
A) 1 B)1,5 C)2 D)2,5
24. = 6 tenglamaning ildizlari ko’paytmasini toping.
A)1,5 B)2 C)0,75 D)2,75
25. = tenglamaning ildizlari sonini toping.
A)1 B)2 C)0 D)3
26. = tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A)-5 B)3 C)1 D)2
27. + = tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A)2 B) C) D)
28. Agar f(x) = x² + 10x+20 funksiyaberilganbo’lsa, f(f(f(f(f(f(x))))) = 0 tenglamanechtaratsionalildizgaega?
A) 1 B)2 C)5 D)32
29.Agar f(x) = x² + 8x+12 funksiyaberilganbo’lsa, f(f(f(f(f(f(x))))) = 0 tenglamanechtaratsionalildizgaega?
A) 1 B)2 C)5 D)32
30. tenglama nechta ildizgaega?
A)3 B)10 C)20 D)1
31. tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A) – 4000 B) – 4010 C)0 D) – 5
32. Agar x³ + px + q = 0 kubiktenglamaningildizlari x₁, x₂, x₃bo’lsa, x₁² + x²₂ + x²₃ifodaningqiymatini toping.
A) 2p B)0 C)– 2p D)2q
17. Agar x³ + px + q = 0 kubiktenglamaningildizlari x₁, x₂, x₃bo’lsa, x₁³ + x³₂ + x³₃ifodaningqiymatini toping.
A) 3p B)0 C)– 3p D)– 3q
18. 2x³ – 2x² + 4x – 1 = 0 kubiktenglamaildizlarikvadratlariningyig’indisini toping.
A)– 3 B)– 3,5 C)1 D)– 2
19. 2x³ – 2x² + 4x – 1 = 0 kubiktenglamaildizlarikublariningyig’indisini toping.
A)– 3B)– 3,5 C)1 D)– 2
20. Agar P(x) = x³ – 7x² + 14x + r ko’phadningildizlaridanbiriboshqasidan 2 martakattabo’lsa, ko’phadningengkattaildizini toping.
A) 1 B)3 C)4 D)6
21. Agar P(x) = x³ – 7x² + 14x + r ko’phadningildizlaridanbiriboshqasidan 2 martakattabo’lsa, ko’phadningengkichikildizini toping.
A) 1 B)3 C)4 D)6
22. Agar P(x) = x³ – 7x² + 14x + r ko’phadningildizlaridanbiriboshqasidan 2 martakattabo’lsa, ko’phaddan r ningqiymatini toping.
A) – 4 B)– 2 C)– 8 D)1
23. tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A) 5 B)0,5 C)5,5 D)6
24. tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A) 19/4 B) 15/4 C) 11/4 D)1
25. tenglamaning ildizlari yig’indisini toping.
A) 11/3 B)2 C) 7/3 D)1
26. = 1 tenglama nechta ildizga ega? ( a
A)1 B)3 C)2 D)0
40. = 1 tenglamaning ildizlari yig’indisini toping. ( a
A)a+2b+3c B)(a+b+c)² C)a+b+c D)0
41. c = 1 tenglama nechta ildizga ega? ( a
A)1 B)3 C)2 D)0
42. c = 1 tenglamaning ildizlari yig’indisini toping. ( a
A)a+2b+3c B)(a+b+c)² C)a+b+c D)0
f(x)=x³+6x²+12x+6 ga teng bo’lsa f(f(f(f(x))))=0 tenglamaning nechta ildizi bor.
A)9 B)27 C)3 D)1
46. f(x)=x³+9x²+27x+24 ga teng bo’lsa f(f(f(f(x))))=0 tenglamaning nechta ildizi bor.
A)9 B)27 C)3 D)1
47. f(x)=x³+12x²+48x+60 ga teng bo’lsa f(f(f(f(x))))=0 tenglamaning nechta ildizi bor.
A)9 B)27 C)3 D)1
48. f(x)=x³+15x²+75x+120 ga teng bo’lsa f(f(f(f(x))))=0 tenglamaning nechta ildizi bor.
A)9 B)27 C)3 D)1
49. . Agar a,b,c sonlar px³-px²+qx+q=0 tenglamani ildizlari bo’lsa, (a+b+c)( ifodaning qiymatini toping.
A) p+q B)1 C)-1 D)p-q+
50. Tenglamaningildizlariko’paytmasini toping.
(x² –x-1)³+(2x²-x-7)³=(3x² -2x-8)³
A) D)1
52. x•f(x+1)=4x-f(x)+1 tenglik o`rinli bo`lsa, f(0)+f(1)+f(2)=?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
53. (x+10) (x+9)+ (x+9)(x+8)+…+ (x+1)x=10*9+9*8+…+2*1 tenglamaning ildizlari x₁ va x₂ bo’lsa ( x₁>x₂ ) x₁:x₂ ni toping.
A) -6 B) 0 C) 1 D) -1
54. x va y butun qiymatlarning nechta juftligida xy =x+y+4 tenglamani qanoatlantiradi?
A) 4 B)3 C)2 D) cheksiz ko’p
55. (x-5y)² +(y+1)² + =0 tenglamadan x ning qiyatini toping.
A) -5 B) -1 C) 6 D) shart yetarli emas
56. . (x-5y)² +(y+1)² + =0 tenglamadan y ning qiyatini toping.
A) -5 B) -1 C) 6 D) shart yetarli emas
57. Agar (ax²+bx+c)+(bx² +ax-9) +(tx² +cx+7) =11x² +13x +2 shart o’rinli bo’lsa, t ning qiymatini toping.
A) 3 B)2 C)4 D) shart yetarli emas
58. a ning nechta qiymatida a -2 soni x³ –ax²+2 =0 tenglamaning ildizi bo’ladi?
A)1 B)3 C)2 D) bunday qiymat mavjud emas
59. a ning qanday qiymatida 3x³ –ax² -7x+b =0 tenglamaning ildizi 1 va -2 bo’ladi?
A) -2 B)2 C)3 D)-1
60. 4m²n-n-4m² =56 tenglamani qanoatlantiruvchi m va n natural sonlarning yig’indisini toping.
A) 1 B)20 C)21 D)aniqlab bo’lmaydi
61. 19x + 15y =1915 tenglamani qanoatlantiruvchi x va y natural sonlar juftligi nechta?
A)5 B)4 C)7 D)6
62. x⁴ – (x-1)(5x² -4x+4) =0 tenglamaning haqiqiy ildizlari sonini toping.
A)2 B)1 C)3 D)0
63. x³ – 27y³ =37 tenglamaning natural sonlarda nechta ildizi mavjud?
A) 4 B)2 C)1 D) cheksiz ko’p
64. x³ +x+3 =0 tenglamaning nechta haqiqiy ildizi mavjud?
A) 1 B)2 C)3 D)0
65. y² =x² +x³ tenglamani x va y juftliklarda qanoatlantiruvchi nechta butun yechimi bor?
A) 15 B)19 C)24 D) cheksiz ko’p
66. xy² -7(x+y²) =1 tenglamaning butun sonlarda nechta ildizi mavjud?
A) 1 B)2 C)3 D)0
67. xy –x =y⁵ +y³ -7 tenglamaning natural sonlarda nechta ildizi mavjud?
A) 1 B)2 C)3 D)0
68. Tenglamaning natural sonlardagi yechimida z nimaga teng.

A) 3 B) 4 C) 1 D) 2 E) 7
69. tenglamani haqiqiy ildizini toping.
70. Agar x va z orasida munosabat o’rinli bo’lsa,xz ning qiymati qancha bo’ladi?
(A) 0.25 B) 0.4 C) 0.5 D) 1
71.
bo’lsa, ni hisoblang.
A) 1 B) 2 C) 5 (D) 10
72. Agar bo’lsa, |x|+|y| ning qiymatini toping.
(A) 1 B) 0.5 C) 0.25 D) 2
73. 2k² +7k =2mk+3m+36 tenglamaning (k;m) juftligida nechta musbat son qanoatlantiradi?
A) 2 B)3 C)1 D) cheksiz ko’p
74. Quyidagi tenglamalarning ildizlari qaysi oraliqda ekanligini aniqlang.
1) 2x³ +3x²+5x+9 =0 2)x³ +x²+x+19 =0 3) 4x³ +3x²+5x+7 =0 4) x³ +4x²+9x+17 =0
75. x³+x-1=0 kubik tenglamaning ildizi qaysi oraliqda joylashgan.
A) 010 - §. Parametrli tenglamalar.
Sizga ma’lumki kvadrat funksiya f(x) = ax²+bx+c (a ) ko’rinishda bo’ladi. Agar a<0 (a>0) bo’lsa, bu kvadrat funksiyaning shoxlari pastga(yuqoriga) qarab yo’nalgan bo’ladi. D =b² -4ac diskriminant bo’lib, D>0 bo’lsa, funksiya Ox o’qini ikki marta har xil nuqtalarda kesib o’tadi( ikkita har xil ildizga ega bo’ladi), D=0 bo’lganda funksiya Ox o’qiga urinib o’tadi (bunda birta ildizga bo’ladi). Agar D<0 bo’lsa, funksiya Ox o’qi bilan hech qanday nuqtada kesishmaydi ( haqiqiy ildizi mavjud emas). Oxirgi holatda yani D<0 va a>0 bo’lsa, funksiya Ox o’qidan yuqorida joylashgan bo’ladi. Aks holda agar D<0 va a<0 bo’lsa, funksiya Ox o’qidan pastda joylashgan bo’ladi. Har qanday kvadrat funksiyani f(x) = ax²+bx+c = a ko’rinishda keltirish mumkin. Bundan ko’rish mumkinki y =ax² ko’rinishdagi funksiyani Ox o’qi bo’ylab - , Oy o’qi bo’ylab qiymatlarda parallel surishdan hosil bo’lgan funksiya grafigi bo’lar ekan. Shu sababli parabolaning uchi koordinatalari x₀ = - va y₀ = ga teng bo’ladi.

2. 
   Viet teoremasi. Agar ax² +bx+c kvadrat
   

uchhadning ildizlari x₁ va x₂ bo’lsa, Viet teoremasi
shaklda bo’ladi.