§. Natural va butun sonlar

33- §. Funksiyalarning xossalari.
f(x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lib, u x X shartda f(-x) =f(x) tenglik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya juft funksiya deyiladi.
Misol uchun f(x) =1 va f(x) =x² funksiyalar juft funksiya bo’ladi.
Lekin f(x) = x² funksiya x [1;2] juft funksiya bo’la olmaydi.Chunki 1,5 soni bu oraliqqa tegishli, lekin -1,5 soni bu oraliqqa tegishli emas.
Juft funksiyaning grafigi ordinata o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
f(x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lib, u x X shartda f(-x) = -f(x) tenglik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya toq funksiya deyiladi.
Misol uchun f(x) =x³ funksiyadir.
Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik deyiladi.
Agar f(x) va g(x) funksiyalar toq funksiya bo’lsa, f(x) +g(x) va f(x) –g(x) funksiyalar ham toq funksiya bo’ladi.Lekin f(x) g(x) funksiya juft funksiya bo’ladi.
X to’plamda aniqlangan f(x) funksiya uchun T>0 shartida x+T X, x-T X va f(x+T)=f(x-T)=f(x) shartlar ham o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya davriy bo’lib, uning davri T bo’ladi. Bu fuksiyaning davri nT (n N) ham hisoblanadi.

Quyidagilarni eslab qoling:

1.y =f(x) +b funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyaning grafigini r(0;b) parallel ko’chirishdan topiladi.
Misol uchun y =f(x), y =f(x)+1, y =f(x)+2 funksiyalarning grafiklarini ko’rib chiqamiz.

2. y=f(x+a) funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyani r(-a;0) parallel ko’chirishdan hosil bo’ladi.
Misol: y=f(x), y =f(x+1) va y =f(x-2) funksiyalarning grafiklarini ko’rib chiqamiz.

3.y =Af(x) funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyaning grafigini Ox o’qidan 1:A nisbatda siqilgan yoki yoyilgan bo’ladi.
Agar 0Agar A>1 bo’lsa, A marta yoyilgan bo’ladi.
Misol uchun y =f(x), y =2f(x) va y = f(x) funksiyalarnng grafiklarini ko’ramiz.

4. y = -f(x) funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyaning grafigini absissa o’qiga nisbatan oynali tasviri bo’ladi.

5. y=f(kx) funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyaning grafigini ordinata o’qi bo’yicha 1: nisbatda siqilgan yoki yoyilgan bo’ladi.
Agar 0Agar k>1 bo’lsa, k marta siqilgan bo’ladi.
Misol uchun y =f(x), y =f(2x) va y =f(x/2) funksiyalarning garfiklari quyidagicha bo’ladi.

6.y =f(-x) funksiyaning grafigi y =f(x) funksiyaning grafigini ordinata o’qiga nisbatan oynali tasviri bo’ladi.

Asimptota
Agar y =f(x) funksiya uchun shartlar o’rinli bo’lsa, x =a to’g’ri chiziq y =f(x) funksiyaning vertikal asimptotasi deyiladi.
Agar y =f(x) funksiya uchun shartlar o’rinli bo’lsa, y=b to’g’ri chiziq y =f(x) funksiyaning gorizontal asimptotasi deyiladi.
Agar y =f(x) funksiya uchun k = yoki k = shartlar o’rinli bo’lsa, y =kx+b to’g’ri chiziq y =f(x) funksiyaning og’ma asimptotasi deyiladi.
Misol: y = egri chiziqning asimptotalarini aniqlang.
Funksiya ( oraliqlarda aniqlangandir. Shuning uchun shart o’rinli bo’ladi. Demak x =2 funksiya egri chiziqning vertikal asimptotasi bo’ladi. ifodalar chekli qiymatga ega bo’lmagani uchun egri chiziqning gorizontal asimptotasi mavjud emas.
Og’ma asimptotasini aniqlaymiz.
1)k₁ =
Demak umumiy asimptota y =x+1 ga teng bo’lar ekan.
2)k₂ =

1.Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.

a)y = -2x+2 b)y =2x-2 c) y =2x+1
Javob ( a) b) )
2. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y=3x² b)
Javob ( a) b) )
3. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y =2x³ b) y =-2x³
Javob ( a) b) )
4. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)y =(x+1)³ b) y=2(x+1)³+2
Javob ( a) b) )
5. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y =
Javob ( a) b) )
6. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y =
Javob (a ) b)
7. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y = c) y =
Javob ( a) b) c)
8.Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y =
Javob ( a) b)
9. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)y = b)y = -
Javob ( a) b)
10.Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)y =
b)y=
Javob ( a) b)
11. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)y = b)y =x
Javob ( a) b)
12. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y =
Javob ( a) b)
13. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y = b) y =
Javob (a) b)
14. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) y =2{-x} b)y ={-2x} c) y ={ }
Javob (a) b)
c)
15. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)y = b)y =
Javob ( a) b)
16. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)x+ b)
Javob (a) b)
17. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) b)
Javob (a) b)
18. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a) {x} {y} b)[x] [y]
Javob ( a)
b)
19. Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang.
a)max(x,y) =1 b)min(x,y) =1
Javob (a) b)
20.f(x) = funksiyaning grafigini chizing.
Javob ( )
21.f(x)= x+ funksianing garfigini chizing.
Javob ( )
22.x>0 va f(2x) = shartlar o’rinli bo’lsa, 2 f(x) aniqlang.
Javob (2f(x) = )
23. f(n) funksiya n natural sonlar uchun quyidagi shartlarda aniqlanadi.
f(n) =
Bu funksiyada k toq son uchun f(f(f(k))) =27 tenglik o’rinli bo’lsa, k sonining raqamlari yig’indisini aniqlang.
Javob (6)
24.f(x) = ax⁷ +bx³ +cx -5 funksiya berilgan bo’lib, f(-7) =7 shart o’rinli bo’lsa, f(7) ning qiymatini hisoblang.
Javob (-17)
25.f(x) funksiya uchun f(x² +1) =x⁴ +5x² +3 shart o’rinli bo’lsa, f(x² -1) ni aniqlang.
Javob (f(x² -1) =x⁴ +x²-3)
26.y =3x²-6x+4 funksiyaning (-1;3] oraliqda eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang.
Javob ( eng katta qiymati 13, eng kichik qiymati 1)
2.y = -2x²+4x-7 funksiyaning [-3;1] oraliqda eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang.
Javob ( eng katta qiymati -5, eng kichik qiymati -37)
27.y = funksiyaning [10;50] oraliqda eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang.
Javob ( eng katta qiymati 1/3, eng kichik qiymati 1/7)
28.y =4-3 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang.
Javob ( eng katta qiymati 4, eng kichik qiymati mavjud emas)
29.y=3-2 funksiyaning eng katta qiymatini aniqlang.
Javob (3)
30. Agar f(–3)=2 shartini qanoatlantiruvchi f(x) = ax⁴–bx²+x+5 funksiya berilgan bo’lsa, f(3) ning qiymatini aniqlang.
Javob (8 )
31. funksiyaning eng katta qiymatini toping.
Javob ( )
32. y = x² + 6x funksiyaningx ≥ – 3 oraliqdagi teskari funksiyasini toping.
Javob ( )
33. funksiyaning 0≤ x ≤ 1 oraliqdagi teskari funksiyasini toping.
Javob ( ))
34. Agar f(x) = 3/x funksiya uchun f(8) – f(2) = f^′(x₀)∙6 shart o’rinli bo’lsa, x₀ ning qiymatini toping. ( x₀ ϵ [2; 8] )
Javob (4)
35. Funksiya y ning qanday qiymatida eng kichik qiymatga erishadi?
Z=
Javob(y=2x)
36. f(x)= ning qiymatini toping.
Javob (1009)
37. f(x)= ning qiymatini toping.
Javob (1011)
38.f(x) funksiya x ning ixtiyoriy qiymatlarida f(2+x) =f(2-x) shart o’rinlidir. Agar f(x) funksiyaning grafigi Ox o’qini 4 ta nuqtada kesib o’tsa, bu nuqtalarning yig’indisini aniqlang.
Javob ( f(x) =x(x-1)(x-3)(x-4); 8)
39.f(x) = funksiya berilgan bo’lib, bu funksiya uchun f(f(x)) =x shart o’rinli bo’lsa, c ning qiymatini aniqlang.
Javob (-3)
40.f(x-2) = x³ -3x²+3x-1 bo’lsa, f^-1(x) =?
Javob (
41. f( =x²-2x-3 bo’lsa, f^-1(-3)+ f^-1(0) ifodaning qiymatini toping.
Javob(-7/5)
42. Agar f(g(x)) = va f(x) =2x+3 bo’lsa, g(x)=?
Javob ( )
43. f( = va f^-1(5) =1/9 bo’lsa, a =?
Javob (-3)
44. y = (n funksiyaning eng kichik qiymatini aniqlang.
Javob (n²)
45.Agar f(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati mos ravishda A va B bo’lsa, y= -f(x) funksiyaning eng kichik qiymati va eng katta qiymati nechaga teng bo’ladi?
Javob (eng kichik qiymati –B , eng katta qiymati –A)
46.Agar y =f(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda a va b bo’lsa, y =2f(x) -3 funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping.
Javob (2a-3 2b-3)
47. Agar f(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati mos ravishda A va B bo’lsa, y =5-3f(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatini aniqlang.
Javob (5-3B 5-3A)
48. Agar f(x) funksiya faqat musbat qiymatlar qabul qilsa hamda eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda A va B bo’lsa, y = funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatini toping.
Javob (eng kichik qiymati va eng katta qiymat )
49.Kvadrat funksiyani o’suvchi ham kamayuvchi ham bo’lmasligni ko’rsating.
50.y =2x³-3x+7 funksiya o’suvchi yoki kamayuvchi bo’la oladimi?
Javob ( yo’q)
51.y = funksiya o’suvchi bo’lishini ko’rsating.
52. y = funksiya kamayuvchi bo’lishini ko’rsating.
53. y = funksiya monoton funksiya bo’la oladimi?
Javob (bo’la oladi)
54.y ={2x} { } funksiya davriy bo’la oladimi? Agar davriy bo’lsa, uning davrini aniqlang.
Javob ( davriy bo’la oladi, uning davri 2 ga teng)
55.y =x+{x} funksiya davriy bo’la oladimi? Agar davriy bo’lsa, uning davrini aniqlang.
Javob (yo’q bo’la olmaydi)
56. y=x{x} funksiya davriy bo’la oladimi? Agar davriy bo’lsa, uning davrini aniqlang.
Javob (yo’q bo’la olmaydi)
57.Agar y = g(x) funksiya davrga ega bo’lsa, y =f(g(x)) funksiya ham doimo davrga ega bo’ladimi?
Javob (ha)
58.a ning shunday mavjud bo’lgan qiymatida barcha x R qiymatlar uchun f(x+a) = -f(x) shart o’rinli bo’lsa, y =f(x) funksiya davrga ega deb ayta olamizmi? Agar ega bo’lsa, bu davr nimaga teng?
Javob ( davrga ega. Bu davr 2a ga teng)
59. a ning shunday mavjud bo’lgan qiymatida y =f(x) funksiyaning barcha aniqlanish sohasida x qiymatlar uchun f(x) f(x+a) = 1 shart o’rinli bo’lsa, y =f(x) funksiya davrga ega deb ayta olamizmi? Agar ega bo’lsa, bu davr nimaga teng?
Javob (davrga ega. Bu davr 2a ga teng)
60. a ning shunday mavjud bo’lgan qiymatida y =f(x) funksiyaning barcha aniqlanish sohasida x qiymatlar uchun f(x+a) = shart o’rinli bo’lsa, y =f(x) funksiya davrga ega deb ayta olamizmi? Agar ega bo’lsa, bu davr nimaga teng?
Javob (davrga ega. Bu davr 4a ga teng)
61.Agar f(2x+3) =3x+2 bo’lsa, f(2x-3) qiymatini aniqlang.
Javob (3x-7)
62.y =f(x) = funksiya juft funksiya bo’lsa, a,b,c va d qiymatlarni toping.(ad-bc 0)
Javob (a,b,c,d sonlarning bunday qiymatlari mavjud emas)
63. f(x) ixtiyoriy funksiya uchun y =f(x) +f(-x) funksiya doimo juft funksiya bo’la oladimi?
Javob (bo’ladi)
64. f(x) ixtiyoriy funksiya uchun y =f(x) -f(-x) funksiya doimo toq funksiya bo’la oladimi?
Javob (bo’ladi)
65.f(x) =(a-2)x+3a-4 funksiya a ning qanday qiymatida juft funksiya bo’ladi.
Javob ({2})
66. f(x) =(a-2)x+3a-4 funksiya a ning qanday qiymatida toq funksiya bo’ladi.
Javob ({4/3})
67.f(x) =(a+3)x+5a funksiya a ning qanday qiymatida davriy bo’ladi?
Javob (-3)
68.f(x) = (k-1)x+k² -3 funksiya k ning qanday qiymatida monoton o’suvchi bo’ladi?
Javob ((1; ))
69. f(x) = (k-1)x+k² -3 funksiya k ning qanday qiymatida monoton kamayuvchi bo’ladi?
Javob ((- ;1))
70.y =(m² -4)x + funksiya m ning qanday qiymatida teskari funksiyasi mavjud?Bu teskari funksiyani aniqlang.
Javob ((- ;-2) (-2;2) (2; ).
71.Bir vaqtning o’zida funksiya ham toq, ham juft funksiya bo’la oladi?
Javob ( bo’la oladi. f(x) =0)
72.y = funksiyaning grafigi y =x to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladimi?
Javob (bo’ladi)
73. y = funksiyaning grafigi y =x to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladimi?
Javob (bo’la olmaydi)
74.Agar y =f(x) funksiya x =a simmetriyaning vertikal o’qiga va Q(a;b) simmetriya markaziga ega bo’lsa, y =2f(x) -1funksiya haqida qanday mulohaza yuritish mumkin?
Javob (x =a bu funksiya uchun ham simmetriyaning vertikal o’qi, Q(a;2b-2) simmetriya markaziga ega bo’ladi)
75.Agar y =f(x) funksiyaning x =a simmetriya o’qi bo’lsa, f(a+x) =f(a-x) shart o’rinli bo’lishini ko’rsating.
76. Agar y =f(x) funksiyaning x =a simmetriya o’qi bo’lsa, f(2a-x) =f(x) shart o’rinli bo’lishini ko’rsating.
77.Agar y =f(x) funksiyaning simmetriya markazi P(a;b) bo’lsa, f(2a-x) +f(x) =2b shart o’rinli bo’lishini ko’rsating.
78. y =x³ -3x²+3x+1 funksiya grafigining simmetriya markazini aniqlang.
Javob ( (1;2))
79. y =x²e^-x egri chiziqning asimptotalarini aniqlang.
Javob ( faqat y =0 gorizontal asimptota)
80. y = egri chiziqning asimptotalarini aniqlang.
Javob ( x = -2 vertikal asimptota, y =x-4 og’ma asimptota)
81. y = egri chiziqlarning asimptotalarini aniqlang.
Javob ( y=x-6)
82. y = funksiyaning asimptotalarini aniqlang.
Javob ( x =0 vertikal asimptota, y=x og’ma asimptota)
83.y= funksiyaning asimptotalarini aniqlang.
Javob ( y =-x)