§. Natural va butun sonlar

- §.Tengsizliklarni isbotlash

a₁, a₂, a₃……..a_n sonlarining o’rta arifmetigi
ga tengdir.
a₁, a₂, a₃……..a_n sonlarining o’rta geometrigi
ga tengdir.

a₁, a₂, a₃……..a_n musbat sonlarining o’rta garmonigi ga tengdir.

a₁, a₂, a₃……..a_n R sonlarining o’rtacha kvadrati
ga tengdir.
Bu o’rtachalar bo’yicha quyidagicha bog’liqlik bor.

Quyidagi muhim qoidalarni ham eslab qoling.
1) ( c- const) bo’lsa, y = ifodaning eng katta qiymati
2) ( p- const) ifodaning eng kichik qiymati
3) ( c- const) bo’lsa, y = ifodaning eng katta qiymati bunda a=a₁+a₂+….+a_n
4) ( p- const) bo’lsa, y= ifodaning eng kichik qiymati
bunda a=a₁+a₂+….+a_n

1.Taqqoslang a=

A) a

3. 
   Taqqoslang: a = 3(1+a² + a⁴) va b =
   
4. 
   A) a B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.
   
5. 
   Taqqoslang: a = 4(1+a² + a⁴) va b =
   
6. 
   A) a> B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.
   
7. 
   Taqqoslang: a = 2(1+a² + a⁴) va b =
   
8. 
   A) a B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.
   
9. 
   Agar 20a + 18b = 2018 bo’lsa, a = 38 (20a² + 18b²) va b = 2018² ifodalarni taqqoslang.
   
10. 
    A) a> B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.
    
11. 
    Agar 20a + 17b = 2017 bo’lsa, a = 37 (20a² + 17b²) va b = 2017² ifodalarni taqqoslang.
    

A) a> B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.

12. 
    Agar 20a + 19b = 2019 bo’lsa, a = 39 (20a² + 19b²) va b = 2019² ifodalarni taqqoslang.
    

A) a> B) a C) a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi.
12. Taqqoslang. a= va b=
A)ab C)a=b D)a=b+1
13. Taqqoslang. a= va b=
A)ab C)a=b D)a=b+1
14. Taqqoslang. a =19991999 200120012001 va
b =199919991999 20012001
A)ab C)a=b D)a=b+1

15. Agar a
ifodalarni
o’sish tartibida joylashtiring.
x =(a+b)(c+d) , y =(a+c)(b+d), z =(a+d)(b+c)
A) x16. a=51¹⁰¹ va b=101 sonlarni taqqoslang. (n =1 2 3 4 ……… n)
A) a=b B) a>b C)bbo’lmaydi
17. a=101²⁰¹ va b=201 sonlarni taqqoslang.
(n = 1 2 3 4 ……… n)
A) a=b B) a>b C)bbo’lmaydi
18. a=156³⁰¹ va b=301 sonlarni taqqoslang. (n =
1 2 3 4 ……… n)
A) a=b B) a>b C)bbo’lmaydi
19. a=201⁴⁰¹ va b=401 sonlarni taqqoslang. (n =
1 2 3 4 ……… n)
A) a=b B) a>b C)bbo’lmaydi
20.a,b,c,d musbat sonlar bo’lib, ularning ko’paytmasi 1 ga teng. a²+ b²+ c²+ d²+ ab + ac + ad + bc + bd + cd ning eng kichik qiymatini toping.
A) 10 B) 5 C) 20 D) 0
21. 0 < x < 1, a=x, b=x², c=1/x²bo`lsa, bu ifodalarni o`sish tartibida joylashtiring.
A) a < b < c B) b < a < c C) b < c < a D) c < a < b
22. Quyidagi sonlarni taqqoslang.
a= (7m-21n-7)(m⁴ +3m⁴n-m⁵) va b=0
A)a>b B) a23. Quyidagi sonlarni o’sish tartibida joylashtiring.
a = , b = 22² va c =2²²
A)aa= x² +xy +y² va b=0 (x
A)a>b B) a25. Quyidagi sonlarni o’sish tartibida joylashtiring.
a = , b = 33³ va c =3³³
A)aa=(x+y)(y+z)(z+x) va b= 8xyz
A) a B)a C)a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi
27. Agar x shartlar o’rinli bo’lsa, quyidagi ifodalarni taqqoslang.
a= (x+y+z+t) va b=
A) a B)a C)a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi
28. Agar x>y va xy =2 shartlar o’rinli bo’lsa, quyidagi ifodalarni taqqoslang.
a= va b =8
A) a B)a C)a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi
29. a = va b = sonlarini taqqoslang.
A) a< B)a C)a=b D) bir tomonlama aniqlanmaydi
30. x² +y²-xy-x-y+1 ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 1 B)2 C)0 D) bir tomonlama aniqlanmaydi
31. x² +y²-xy-x-y+1 ifoda x ning qanday qiymatida eng kichik qiymatiga erishadi?
A) 1 B)2 C)0 D) bir tomonlama aniqlanmaydi
32. x² +y²-xy-x-y+1 ifoda y ning qanday qiymatida eng kichik qiymatiga erishadi?
A) 1 B)2 C)0 D) bir tomonlama aniqlanmaydi
33. Quyidagi tasdiqlardan qaysi biri doimo o’rinli?
1) 2) (x+y+z)³ 27xyz
3) (x³+x²+x+1)² 16x³ (x )
A)1 va 3 B)2 C) 1 va 2 D) hammasi
34. Agar x va y qiymatlar uchun 4x² +y² =16 shart o’rinli bo’lsa, 3x -2y ifodaning eng katta qiymatini toping.
A) 10 B)6 C)0 D) aniqlab bo’lmaydi
35. Agar x va y sistemaning shartlarini qanoatlantirsa, x+5y ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 14 B) 7 C)10 D) aniqlab bo’lmaydi
36. Agar x va y qiymatlar uchun +xy+4y² 3 shart o’rinli bo’lsa, x+3y ifodaning eng katta qiymatini toping.
A) B)3 C) D) aniqlab bo’lmaydi
37. Agar x² +y²-xy= 4 shart o’rinli bo’lsa, x² +y² ifodaning eng katta qiymatini toping.
A) 8 B)8/3 C)2,8 D) aniqlab bo’lmaydi
38. Agar x² +y² - xy= 4 shart o’rinli bo’lsa, x² +y² ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 8 B)8/3 C)2,8 D) aniqlab bo’lmaydi
39. Agar 2x² +2xy+y² =2 shart o’rinli bo’lsa, x² –xy+y² ifodaning eng katta qiymatini toping.
A) 7 B)4+ C) 4- D) aniqlab bo’lmaydi
40. Agar 2x² +2xy+y² =2 shart o’rinli bo’lsa, x² –xy+y² ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 7 B)4+ C) 4- D) aniqlab bo’lmaydi
41. x²+2y²+z²+xy-xz-yz =1 tenglikni qanoatlantiruvchi y va z qiymatlar mavjud bo’lsa, x ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlardan eng kichigini aniqlang.
A) - B) C)-2 D)2
42. x²+2y²+z²+xy-xz-yz =1 tenglikni qanoatlantiruvchi y va z qiymatlar mavjud bo’lsa, x ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlardan eng kattasini aniqlang.
A) - B) C)-2 D)2
43. 2x²+2y²+z²+xy+xz+yz =4 tenglikni qanoatlantiruvchi x va y qiymatlar mavjud bo’lsa, z ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlardan eng kattasini aniqlang.
A) - B) C)-2 D)2
44. Mavzuda keltirilgan teorema yordamida
(1-x₁)²+(x₁ -x₂)²+(x₂ -x₃)²+……+(x_n-1 –x_n)²+x_n² = tenglamani yagona yechimi borligini ko’rsating. Hamda bu yechimlarni o’zini toping.
45. Shunday n N sonini topingki tenglamalar sistemasi qanoatlantiruvchi x₁, x₂ …….x_n musbat sonlar mavjud bo’lsin. Topilgan n natural soni bo’yicha sistemani yeching.
46. Quyidagi tengsizliklarni doimo to’g’riligini ko’rsating.
1) (a>0)
2) )
3.
4.
5. (2n)! < (n(n+1))ⁿ
6. (
7. Shlyomilx masalasi. n>2 uchun quyidagi tengsizlikni doimo o’rinli ekanligiligi ko’rsating.

8.
9.
10.
11. ab²c³d⁴
12. x²+y²+z² xy+yz+xz
13. x²+y²+1 xy+x+y
14. x⁴+y⁴+8 8xy
15. a²b²+b²c²+a²c² abc(a+b+c)
16. 2(a³+b³+c³) ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)
17. x² -5xy+7y² 0
18. 4xy –3x² -8y² 0
19. x² +2xy+3y²+2x+6y+4>0
20. (n>1)
21.
22. Agar a,b,c musbat sonlar va abc =1 shartlar o’rinli bo’lsa, a+b+c+ab+bc+ac 6 tengsizlik doimo to’g’riligini ko’rsating.
23. Agar a>b va ab=2 shartlar o’rinli bo’lsa, tengsizlik doimo to’g’riligini ko’rsating.
24. Agar a,b,c nomanfiy sonlarning yig’indisi 1 ga teng bo’lsa, (1+a)(1+b)(1+c) 8(1-a)(1-b)(1-c)
25.Agar a₁, a₂,…..a_n musbat sonlar uchun tengsizlik doimo to’g’riligini ko’rsating.
26. x² + 3
27. x+ 3 (x>0)
28.
29. nⁿ>1 (
30.

47. tengsizliklar sistemasini yeching.

A) [0;100] B) [0;100) C) [0;101] D) [0; )
48. a, b, c va d butun sonlarda P(x) = ax³+bx²+cx+d (a ko’phad uchun P(15)=3 va P(21)=12 shartlarni qanoatlantirsa, a+b+c+d ning qiymatini toping.
A) 10 B)25 C)36 D)
48. Agar x>0, y>0, z>0 va x+y+z =12 shartlar o’rinli bo’lsa, U = x²yz³ ifodaning eng katta qiymatini toping.
A)6912 B)6000 C) 2000 D)aniqlab bo’lmaydi

12.