§. Natural va butun sonlar

22- §. Arifmetik progressiya.
Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =a va ixtiyoriy n natural son uchun a_n+1 =a_n+d shart o’rinli bo’lsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Bunda a va d arifmetik progressiyaning mos ravishda birinchi hadi va ayirmasi deyiladi. Arifmetik progressiya monoton ketma-ketlik bo’ladi: agar d>0 (a_n+1-a_n= d>0) bo’lsa, o’suvchi bo’ladi; agar d<0 (a_n+1-a_n= d<0) bo’lsa, kamayuvchi bo’ladi; agar d=0 bo’lsa, o’suvchi bo’lmaydi.
Arifmetik progressiyaning n- hadi uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi.
a_n =a +d(n-1)
isboti: Arifmetik progressiya uchun a₂-a₁ =d, a₃- a₂ =d, a₄-a₃ =d,……….a_n-a_n-1 =d shartlar o’rinlidir.
Buni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
a₂ =a₁+ d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ =a₁+3d,……….a_n= a₁+(n-1)d
Arifmetik progressiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   a_n =
   
2. 
   a_k +a_m =a_p+a_q (k+m =p+q)
   

Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi uchun quyidagi formula o’rinlidir.
S_n = a₁+a₂+a₃+….+a_n = =
Isboti: Agar S_n = a₁+a₂+a₃+….+a_n bo’lsa, unda S_n = a_n + a_n-1+ a_n-2 +…..+ a₂ + a₁ tenglik ham o’rinli bo’ladi. Bu ikki tenglikni qo’shib yuborib hamda xossasidan foydalansak isbotlanishimiz kerak bo’lgan formula kelib chiqadi.
22-Mashq.
1.Uch xonali sonlar ichida 12 ga qoliqsiz bo’linmaydigan sonlar yig’indisini toping.
A) 453150 B)453180 C)82800 D)454210
2.a₁, a₂, a₃,……… a_k arifmetik progressiyaning hadlaridir. Bu hadlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.
a₄+a₇+a₁₀ =17 a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77
Bu progressiyaning ayirmasini toping.

1. 
   1 B)2/3 C)2 D)3/4
   

3. arifmetik progressiyaning nechta hadi manfiy?
A) 10 B)6 C)5 D)7
4. Hadlari fo`rmula bilan berilgan ketma-ketlikning dastladki o`ttiztta hadi yig`indisini toping.
A) 2010 B) 1900 C) 2100 D) 1940
5. y; 3y+5; 5y+10;… arifmetik progressiyaning dastlabki 8 ta hadi yig`indisi 396 ga teng. y ning qiymatini toping.
A) 2 B)3 C)4 D)5
6. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadining yig`indisi formula bilan topilsa, uning umumiy hadi qanday ifodalanadi?
A) B) C)
D)
7. arifmetik progrssiyaning dastlabki n ta hadi yig`indisi bo`lsa, ning qiymatini toping.
A) 0 B) C) D)
8. Arifmetik progressiyaning dastlabki to`rtta hadi yig`indisi 124 ga oxirgi 4 tasiniki 156 ga teng. Progressiyaning hadlari yig`indisi 350 ga teng. Progresiyaning nechta hadi bor?
A)8 B)9 C)11 D)10
9. a₁ +a₇ =38 va a₂ a₄ =95 shartlarni qanoatlantiruvchi arifmetik progressiyani aniqlang.
Javob: (-2;512;19;26….)
10. a₃ +a₆ =16, a₃ a₆ =55 shartlarni qanoatlantiruvchi arifmtik progressiyada (a_n) nechta hadining yig’indisi 81 ga teng bo’ladi?
Javob: (9)
11. Agar arifmetik progressiyada a₅+a₈+a₁₁+a₁₄ =26 shart o’rinli bo’lsa, dastlabki 18 ta hadining yig’indisini aniqlang.
Javob: (117)
12. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi S_n = 5n² -2n orqali hisoblansa, bu arifmetik progressiyani aniqlang.
Javob: ( 3;13;23;33……)
13. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi S_n = 4n² -7n orqali hisoblansa, progressiyaning o’n uchinchi hadini aniqlang.
Javob: (93)
14. Agar arifmetik progressiyada (a_n) a₁₆ =1 bo’lsa, a₁ +a₇+a₁₃+a₁₉+a₂₅+a₃₁ yig’indini hisoblang.
Javob:(6)
15. (a_n) o’suvchi arifmetik progressiyada S₃ =21 va a₁² +a₂² +a₃² =165 shartlar o’rinli bo’lsa, a₆ ning qiymatini aniqlang.
Javob:(19)
16. Agar arifmetik progressiyada 3 shart qanoatlantirsa, ning qiymatini aniqlang.
Javob: (0,3)
17. Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi yig’indisi 0 ga, bu hadlarning kvadratlari yig’indisi 98 ga teng bo’lsa, progressiyaning birinchi hadi va ayirmasini aniqlang.
Javob: ( a₁ =7 va d =-7 yoki a₁ =-7 va d =7 )
18. Agar arifmetik progressiyada shart bajarilsa, nisbatni qiymatini aniqlang.
A) 29/21 B) 39/31 C) 41/19 D) 59/27
19. Agar arifmetik progressiyada
shart bajarilsa, nisbatni qiymatini aniqlang.
A) 29/21 B) 39/31 C) 41/19 D) 59/27
20. Arifmetik progressiya va geometric progressiyaning birinchi va uchinchi hadlari bir xil son bo’lib, ikkinchi hadlari bir-biridan 4 gafarq qiladi. Agar bu progressiyalarning birinchi hadi 2 ga teng bo’lsa, progressiyalarning uchinchi hadini toping.
A) 6 B)10C)18 D) shart yetarli emas
21. 11 hadli arifmetik progressiyaning birinchi, beshinchi va o’nbirinchi hadlari mos ravishda ketma-ket geometric progressiyaning hadlarini tashkil qiladi. Agar arifmetik progressiyaning birinchi hadi 24 ga teng bo’lsa, uning ayirmasini toping.
A)2B)3 C)4 D)1,5
22. Agar arifmetik progressiyaning hadlari bo’lmish a₂₀va a₁₂ hadlari uchun a₂₀/a₁₂ = – 1 shart o’rinli bo’lsa, bu progressiyaning nechanchi hadi 0 ga teng bo’ladi?
A) a₁₀ B)a₄C)a₁₆ D)a₆
23. Agar arifmetik progressiyaning hadlari bo’lmish a₃₀ va a₂₀ hadlari uchun a₃₀/a₂₀= – 1 shart o’rinli bo’lsa, bu progressiyaning nechanchi hadi 0 ga teng bo’ladi?
A) a₃₀ B)a₁₀C)a₂₅ D)a₅
24. Agar arifmetik progressiyada umumiy had a_n=3n+1 ko’rinishida berilgan bo’lsa ,

A) B)3 C)3.2 D)
25. Agar arifmetik progressiyada umumiy had a_n=3n+1 ko’rinishida berilgan bo’lsa ,

A) B)3 C)3.2 D)


26. Qiymati 100 va 1000 sonlari orasida yotgan maxraji 9 bo’lgan qisqarmas kasrning yig’indisini toping.
Javob: (2970000)
27.(a_n) arifmetik progressiyada a₃+a₆+a₉+a₁₂ =200 shart o’rinli bo’lsa, dastlabki 14 ta hadining yig’indisini toping.
A) 700 B) 650 B)750 D) aniqlab bo’lmaydi
28. Agar burchaklardan biri 120⁰ ga teng bo’lgan uchburchakning tomonlari uzunliklari arifmetik progressiyani tashkil qilsa, uchburchaklarning tomonlari uzunliklari qanday nisbatda?
A)3:5:6 B)3:5:7 C)4:5:7 D) bir tomonlama aniqlanmaydi
29. To’g’ri burchakli uchburchakning tomonlari arifmetik progressiyani tashkil qilsa, uning tomonlari uzunliklari qanday nisbatda bo’ladi?
Javob: (3:4:5)
30. Paraxodning daryo oqimi bo’ylab tezligi, oqimga qarshi tezligi va daryo suv oqim tezligi arifmetik progressiyani tashkil qilsa, paraxodning daryo oqimi bo’ylab tezligini daryo oqimiga qarshi tezligini aniqlang.
A)4:3 B)5:3 C)5:4 D)3:2
31. x ning qanday qiymatida lg2, lg(2^x-1), lg(2^x+3) ko’rsatilgan tatibda arifmetik progressiyaning hadlari bo’ladi?
Javob: ( log₂5)
32. a va b berilgan sonlar uchun a_n ketma-ketlikning dastlabki n ta hadining yig’indisi
S_n = an² +bn formula orqali topilsa, a_n ketma-ketlik arifmetik progressiya ekanligini ko’rsating.
33. Arifmetik progressiyaning qandaydir hadlari 1, va 2 sonlariga teng bo’lishi mumkinmi?
Javob: (yo’q)
34. (a_n) arifmetik progressiya uchun a_k =m, a_m =k (k ) shartlar o’rinli bo’lsa, a_n hadini aniqlang.
A)m+k+n B)m+k-n C)2m+2k-n D) bir tomonloma aniqlanmaydi
35. (a_n) arifmetik progressiya uchun a_k+m =b, a_k-m =c shartlar o’rinli bo’lsa, a_k hadini aniqlang.
A) (2bm+(c-b)k)/2m B)(b+c)/2 C)(b-c)/2 D) aniqlab bo’lmaydi
36. (a_n) arifmetik progressiya uchun a_k+m =b, a_k-m =c shartlar o’rinli bo’lsa, a_m hadini aniqlang.
A) (2bm+(c-b)k)/2m B)(b+c)/2 C)(b-c)/2 D) aniqlab bo’lmaydi
37. Arifmetik progressiyada S_m =S_n (m ) o’rinli bo’lsa, S_m+n ning qiymatini aniqlang. (Bunda S_k – dastlabki k ta hadining yig’indisi)
A)m+n B)m-n C)0 D) aniqlab bo’lmaydi
38. Arifmetik progressiyada S_k =b, S_n =c (k ) o’rinli bo’lsa, S_k+n ning qiymatini aniqlang. (Bunda S_a – dastlabki a ta hadining yig’indisi)
A) (b-c)(k+n)/(k-n) B) (b-c)(k+n)/(k+n) C) (b+c)(k+n)/(k-n) D) (b+c)(k+n)/(k+n)
39. Agar a,b va c lar arifmetik progressiyani tashkil qilsa,
a²+ab+b², a²+ac+c² va b²+bc+c² ham arifmetik progressiyani tashkil qilishini ko’rsating.
40. a, b va c sonlar arifmetik progressyani tashkil qiladi qachonki a+b, a+c va b+c sonlari ko’rsatilgan tartibda arifmetik progressiyani tashkil qilsa. Buning doimo to’g’riligini ko’rsating.
41. Agar sonlar arifmetik progressiya tashkil qilsa ,
yig’indini toping.
A) B) C) D)
42. O`zidan oldingi toq sonlar yig`indisining qismiga teng bo`ladigan natural sonni toping.
A) 16 B)24 (C) 32 D) 64
43. arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi 120 ga teng. Agar bo`lsa, yig`indida nechta had tashkil etadi?
A)6 B)10 (C)8 D)12
44. Arifmetik progressiyaning a_2n va a_2m hadlari uchun a_2n/a_2m =-1 shart o’rinli bo’lsa, bu progressiyaning nechanchi hadi nolga teng bo’ladi?
Javob: ( m+n)
45. Ikkita arifmetik progressiya berilgan. Birinchi arifmetik progressiyaning birinchi va beshinchi hadlari mos ravishda 7 va -5 ga teng. Ikkinchi arifmetik progressiyaning birinchi hadi 0 ga, oxirgi hadi 7/2 ga teng. Agar ikkala arifmetik progressiyaning uchinchi hadlari teng bo’lsa, ikkinchi arifmetik progressiyaning hadlari yig’indisini toping.
Javob: (14)
46. 1, 8, 22, 43, … sonlar ketma –ketligi shunday xususiyatga egaki, ikkita qo`shni hadlarning ayirmasi 7, 14, 21,... Arifmetik progressiyani tashkil etadi. Berilgan ketma-ketlikning nechanchi hadi 35351 ga teng bo`ladi?
A) 97 B) 99 C) 101 D)103
47. 1, 7, 19, 37,61 … sonlar ketma –ketligi shunday xususiyatga egaki, ikkita qo`shni hadlarning ayirmasi 6, 12, 18,24... Arifmetik progressiyani tashkil etadi. Berilgan ketma-ketlikning nechanchi hadi 2107 ga teng bo`ladi?
A) 37 B) 25 C) 27 D)23
48. Arifmetik progressiyada shart o’rinli bo’lsa, tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
49. sonlari arifmetik progressiyaning hadlari bo’la oladimi?
Javob: (yo’q)
50. Tenglamni yeching.

Javob: (5)
51. Qaysi sonlar bir vaqtning o’zida 2;7;12;17;….517 va 13;20;27;….300 arifmetik progressiyalarning hadlari bo’ladi?
Javob: (27;62;97;132;167;202;237;272)
52. Qaysi sonlar bir vaqtning o’zida 1;7;13;….445 va 15;31;47;….383 arifmetik progressiyalarning hadlari bo’ladi?
Javob: (31;79;127;175;223;271;319;367)
53. Tenglamadan n musbat butun sonni toping.
(3+6+9+….+3(n-1))+(4+5,5+7+…..+ ) =137
Javob: (7)
54. Uch xonali sonlar ichida 3 ga qoldiqsiz bo’linadigan juft sonlarning yig’indisini toping.
Javob: (82350)
55. S_m – arifmetik progressiyaning dastlabki m ta hadi yig’indisi bo’lsin. Agar bo’lsa, ning qiymatini toping.
A)3 B)0 C)1 D)6
56. Quyidagi berilgan kamayuvchi arifmetik progressiyaning yig’indisi qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlarni toping.
, ,….. ,
Javob: (-21/5 yoki -11/4)