=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Misollar
1 – misol. oddiy kasrni o`nli kasrga aylantiring.
Buning uchun kasrning suratini mahrajga bo`lamiz.

20 18	3
	0,666 . . . =0,(6) sof davriy o`nli kasr
20 18
20 18
20

2 – misol. kasrni o`nli kasrga aylantiring.
Yechish. kasrni surat va mahrajini 2 ga ko`paytirdik.
3– misol. kasrni o`nli kasrga aylantiring.
4 – misol. kasr berilgan. O`nli kasrga aylantiring.
ni o`nli kasrga aylantiramiz.

70 66	11
	0,6363. . =0,(63)
40 33
70 66
40 33
70 Demak, 5 – misol. 40 25 25 0,16 150 150 0

6 – misol. kasrni cheksiz davriy o`nli kasrga aylantiring.

30 28	14
	0,21(428571)4 . .
20 14
60 56
40 28
120 112
80 70
100 98
20 14
60 56
40

7 – misol. 5,(8) cheksiz davriy o`nli kasrni oddiy kasrga aylantiring.
Yechish. Cheksiz o`nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun, agar uning takrorlanmaydigan raqami bo`lmasa, suratiga davrini mahrajiga esa davrida nechta raqam bo`lsa, shuncha 9 yozamiz:

8 – misol. 3,4(3) davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.
Yechish. Takrorlanmaydigan raqami 4 bo`lgan cheksiz o`nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun suratiga ikkinchi davrgacha bo`lgan son 43 dan davrgacha bo`lgan son (takrorlanmaydigan raqam) 4 qiymatining ayirmasini yozamiz, mahrajida esa davrda nechta raqam bo`lsa, shuncha (bitta) 9 va nechta takrorlanmaydigan raqam bo`lsa, shuncha 0 yozamaz:

Mustaqil yechish uchun misollar
1. Oddiy karsni o`nli kasrga aylantiring

2. Davriy o`nli kasrni oddiy kasrga aylantiring

3. O`nli kasrni oddiy kasrga aylantiring

4. Quyidagi amallarni bajaring




IV BOB. Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar
1§. Haqiqiy sonlar
1.1. Haqiqiy son tushunchasi
Yuqorida ko`rganimizdek, miqdorlarni o`lchash butun sonlar to`plamini kengaytirish ehtiyojini vujudga keltirdi. Lekin Q – ratsional sonlar to`plami ham ko`pgina amaliy va nazariy maslalarni yechishda torlik qiladi. Har bir rarsional songa son o`qida bitta nuqta mos keladi. Lekin shunday nuqtalar borki, uni ratsional son bilan ifodalash mumkin emas. Shunday nuqtalar bor ekanini ko`rsatamiz. Quyidagi teoremani ko‘rib chiqaylik:
Teorema. Kvadrati ikkiga teng ratsional son mavjud emas.
Isbot: Faraz qilaylik, mavjud bo‘lsin, ya’ni va D(p;q) =1.
.
, ya’ni . Bu shartga zid. Demak, faraz noto‘g‘ri. Teorema isbotlandi. Ya`ni  tenglamani qanoatlantiradigan ratsional ildiz mavjud emas. Shuningdek  sonlarini ham  ko`rinishida yozib bo`lmaydi. Ya’ni bu sonlar ratsional sonlar emas.
1-ta’rif. Ratsional bo‘lmagan sonlar irratsional sonlar deyiladi va ularning to‘plami I - kabi belgilanadi.
2-ta`rif. Q  I = R - haqiqiy sonlar to‘plami deyiladi, Irratsional sonlar cheksiz davriy bo‘lmagan o‘nli kasrlar, ratsional sonlar esa cheksiz davriy o‘nli kasrlar kabi yoziladi.
Demak, haqiqiy sonni bir so‘z bilan cheksiz o‘nli kasr deb atash mumkin, ya’ni
haqiqiy sonning qiymati kami bilan olingan taqribiy qiymati ortig‘i bilan olingan taqribiy qiymati deyiladi.
R-to‘plamning xossalari:
1°. R -cheksiz -sanoqsiz.
2°. R-tartiblangan.
3°. R-uzluksizdir.
3. soniga sonlar o‘qida bitta nuqta mos kelishini va aksincha son o‘qining har bir nuqtasiga yagona haqiqiy son mos kelishini tushuntiramiz. soniga sonlar o‘qida bitta nuqta mos kelishi ma’lum. -irratsional bo‘lsa, unga ham bitta nuqta topilishini ko‘rsatamiz.
Masalan:

A nuqtaga sonlar o‘qida A¹ nuqta mos keldi. Uning koordinatasi , ya’ni A'( ). Xuddi shunday istalgan irratsional songa bittadan nuqtani mos keltirish mumkin va aksincha.
Shunday qilib, R -to‘plami–bilan to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin ekan.
1. [0;1] kesmadagi nuqtalar to‘plami sanoqsizdir.
Ta’rif. [0;1] kesmadagi nuqtalar to‘plami bilan teng quvvatli to‘plam kontinium quvvatli to‘plam deyiladi. Bunday to‘plamlar haqida bir nechta teoremalarni isbotsiz qabul qilamiz.
Teorema 1. Har qanday [a,b] dagi nuqtalar kontinium quvvatga ega.
Teorema 2. A₁ A₂,...,A_n larning har biri kontinium quvvatiga ega bo‘lsa, u holda to‘plam ham kontinium quvvatga ega va aksincha.
Natija. R to‘plam kontinium quvvatga ega.
Savollar
1. Irratsional son tushunchasini kiritilishi zaruratini tushuntiring,
2. Irratsional son ta’rifini ayting.
3. Haqiqiy son deb nimaga aytiladi?
4. Haqiqiy sonlar to‘plami qanday tuzilgan?
5. Haqiqiy sonlar to‘plami bilan son o‘qi nuqtalari orasida qanday bog‘lanish bor?
6. Haqiqiy sonlar to‘plamining quvvati haqida nima deyish mumkin?
7. Haqiqiy sonning kami va ortig‘i bilan olingan o‘nli yaqinlashishlari deb nimaga aytiladi? Ular qanday topiladi?