=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

3§ Algebraik amallar
3.1. Algebraik amallar va ularning turlari
1-ta'rif. A≠ ixtiyoriy tabiatli elementning to’plami, n manfiy bo’lmagan butun son bo’lsin. U holda ixtiyoriy f:AⁿA akslantirish A to’plamda aniqlangan n o’rinli yoki n-ap algebraik amal, n sonni esa f algebraik amalning rangi deyiladi.
A to’plamda aniqlangan nol o’rinli amal deb, A to’plamning qandaydir elementini tayinlashni (ajratishni) aytiladi.
2-ta'rif. Agar f:AⁿA akslantirishning aniqlanish sohasi Aⁿ ning to’g’ri qismidan iborat bo’lsa, u holda f ni A to’plamda aniqlangan qisman algebraik amal deyiladi.
Rangi 0,1 va 2 bo’lgan algebraik amallarni mos ravishda nolar, unar va binar algebraik amallar deyiladi. Unar amalni operator ham deb ataladi.
Bundan buyon n-ap algebraik amal deyish o’rniga n-ap amal yoki amal degan terminlarni ishlatishga kelishamiz. f - A to’plamda aniqlangan ixtiyoriy amal bo’lsin. Agar f:AⁿA akslantirishda (a,b)A² elementga cA mos keltirilgan bo’lsa, u holda f((a,b))=c yoki f(a,b)=c ko’rinishda yozishning o’rniga a f b=c yoki (a,b)c yoki a | b=c yoki ab=c yoki a o b=c yoki a*b=c,... ko’rinishda belgilash qabul qilingan. Qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallarini mos ravishda a+b=c, a-b=c, ab=c va a:b=c ko’rinishda belgilanadi.
Misollar. 1. M - ixtiyoriy tabiatli elementlarning qandaydir bo’sh bo’lmagan to’plami, A={B:BM} bo’lsin. U holda f:AA akslantirshni (BA) f(b)=M\b ko’rinishda aniqlasak, f A to’plamda aniqlangan unar amal (operator) dan iborat bo’ladi.
2. A 1- misoldagi to’plam bo’lsin. Agar f:A²A akslantirsh
(B₁,BA) f(B₁,B₂)=B₁B₂ f(B₁,B₂)=B₁B₂
ko’rinishda berilsa, har ikkala holda ham f-A to’plamda aniqlangan binar amaldan iborat bo’ladi.
3. N natural sonlar to’plami, (nN) tayinlangan natural son bo’lsin. U holda f:A²A akslantirish (m₁,m₂,…,m_nN) f(m₁,m₂,…,m_n)=(m₁,m₂,…,m_n) ko’rinishda berilsa, f-N to’plamda aniqlangan n-ap amal bo’ladi. Bu joyda (m₁,m₂,…,m_n),-m₁,m₂,…,m_n natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi.
4. Bo’lish amali butun sonlar sistemasida aniqlangan qisman amaldan iborat.
Agar A to’plamda * binar amal aniqlangan bo’lsa, uni algebra deyiladi va (A, *) ko’rinishda belgilanadi.
3- ta'rif. o va * lar A to’plamda aniqlangan ixtiyoriy amallar bo’lsin:
a) (a,bB) aob=boa bo’lsa, u holda amal kommutativ (o’rin almashtirish) xossasiga;
b) (a,b,cA) (aob)oc=ao(boc) bo’lsa, u holda o- assotsiativ (gruppalash) xossasiga;
d) (a,b,cA) (aob)*c=(a*c)o(b*c) va c*(aob)=(c*a)o(c*b) bo’lsa, mos ravishda * amal o amalga nisbatan o’ng va chap distributiv (o’ng va chap taqsimot) xossasiga ega deyiladi. Agarda * amal kommutativ bo’lsa, oxirgida "o’ng" va "chap" so’zlari tushirilib qoldiriladi.
Misollar. 5. Sonlarni odatdagi qo’shish va ko’paytirish amallari kommutativ, assotsiativ va ko’paytirish amali qo’shish amaliga nisbatan distributiv, lekin qo’shish amali ko’paytirish amaliga nisbatan distributiv emas. Chunki a+bc=(a+b)(a+c) tenglik hamma vaqt ham – o’rinli bo’lmaydi.
6. Sonlarni ayirish amali kommutativ ham, assotsiativ ham emas.
7. Akslantirishlarning kompozitsiyasi assotsiativ amal bo’lib, u kommutativ emas (tekshirib ko’ring).
4-ta'rif. A to’plamda o amal aniqlangan bo’lsin. Agar (e_y,e_чA) (aA) aoe_y=a yoki e_чoa=a bo’lsa, u holda e_y va e_ч elementlarini o amalga nisbatan mos ravishda o’ng va chap neytral element deyiladi.
Misollar. 8. Butun sonlar sistemasida 0 qo’shish amaliga nisbatan, 1 ko’paytirish amaliga nisbatan ham o’ng ham chap neytral elementlardir,
9.  to’plamlarning birlashmasi amaliga nisbatan universal to’plam X to’plamning kesishmasi amaliga nisbatan neytral elementlardir.
5 - ta'rif. Aytaylik A≠, o - A to’plamda aniqlangan amal, e o amalga nisbatan A to’plamning neytral elementi bo’lsin. Agar (aA)(e_y,e_чA) aoe_y=e, a_чoa=e bo’lsa, u holda a_y, a_ч larni mos ravishda o amalga nisbatan a ga o’ng va chap simmetrik elementlar deyiladi. Agar aoa'=a'oa=e bo’lsa, a' ni o amalga nisbatan a ga (o’z navbatida a ni a' ga) simmetrik element deyiladi.
Misollar. 10. Butun sonlarni qo’shish amaliga nisbatan a ga (-) simmetrik (qarama-qarshi) element bo’ladi.
11. Ratsional sonlarni ko’paytirish amaliga nisbatan a≠0 ratsional songa
a^-1=1/a simmetrik (teskari) element bo’ladi.
6-ta'rif. Aytaylik o A to’plamda aniqlangan amal va BA bo’lsin. Agar (a,bB)=>aobB bo’lsa, B to’plamni o amalga nisbatan yopiq deyiladi.
Misol. 12. Agar B,CN, B={2,4,6,...,2n,...}, C={1,3,5,...,2n-1,...} bo’lsa, B natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq, C esa ko’paytirish amaliga nisbatan yopiq.
7-ta`rif. Agar (A,*) algebrada e neytral element aniqlangan bo’lsa (A,*,e) ni algebraik sistema deyiladi.