1-§. Determinantlar

Vektorni bazislar bo’yicha yoyish. 1-ta’rif. Tekislikdagi bazis deb ikkita kollinear bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz _{1, 2} vektorlarga aytiladi.
1-teorema. Tekislikdagi biror vektorning ₁ va ₂ bazislar orqali yoyilmasi ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
2-ta’rif. Fazodagi bazis deb, undagi xar qanday uchta komplanar bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz bo’lgan vektorlarga aytiladi.
2-teorema. Fazodagi biror vektorning bazislar orqali yoyilmasi =_{1 1}+ _{2 2}+_{3 3} (2) ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
Vektorlarning yo’naltiruvchi kosinuslari. ={x,y,z} vektor Ox,Oy,Oz koordinata o’qlari bilan mos ravishda burchaklar tashkil qilsin.
Ta’rif. vektorning koordinata o’qlari bilan xosil qilgan burchaklar kosinuslariga ya’ni cos , cos, cos larga vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
x=a_x=pr_Ox =| |cos , , y=a_y=pr_Oy =| |cos, z=a_z=pr_Oz =| |cos,
1-misol. A(1,2,3) B(2,4,5) bo’lsa, = vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.
Yechish. ={1;2;2} , | |=3 , cos=1/3 ; cos=2/3 ; cos=2/3.
Skalyar ko’paytma. 1-ta’rif. va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, shunday songa aytiladiki, bu son shu vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko’paytmasiga teng bo’ladi va odatda yoki ( ) ko’rinishda yoziladi. Demak, ta’rifga ko’ra =| || | cos, = ^
2-misol. | |=3, | |=2, =60° bo’lsa ( )=
Skalyar ko’paytmaning xossalari.
1. o’rin almashtirish xossasi. 2. ( + ) = + taqsimot xossasi.
3. guruxlash xossasi.

4. 
   Agar va vektorlar bir xil yo’nalishdagi kollinear vektorlar
   

bo’lsa, =| || | chunki cos0=1. Agar qarama-qarshi yo’nalgan bo’lsa, =-| || | chunki cos180⁰=-1.
5. =| || |cos0=| |^{2 2}= | |² 6. perpendikulyar bo’lsa , =0 bo’ladi.
Eslatma. 5 va 6 xossalardan foydalanib birlik vektorlarning skalyar ko’paytmalarini ko’rsak
tengliklarning o’rinli bo’lishi ravshan.
Skalyar ko’paytmaning koordinatalari orqali ifodasi.
Agar ={x₁, y₁, z₁} , ={x₂, y₂, z₂} vektorlar koordinatalari orqali berilgan bo’lsa, ni xisoblaylik. ={ x₁ +y₁ +z₁ )(x₂ +y₂ +z₂ )=(eslatmaga ko’ra)= x₁x₂+y₁y₂+z₁z_{2 .} Demak koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi mos koordinatalari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’lar ekan. va vektorlar yig’indisi esa qo’yidagicha xisoblanadi: ={x₁ x₂; y₁ y₂; z₁ z₂}.
Ikki vektor orasidagi burchak va parallelik, perpendikulyarlik shartlari.
Agar va vektorlar orasidagi burchakni desak bu vektorlarning skalyar ko’paytmasidan
=| || |cos (1) ikki vektor orasidagi burchak kosinusini hisoblash formulasi kelib chiqadi. Agar ={x₁, y₁, z₁}, ={x₂, y₂, z₂} koordinatalari bilan berilgan bo’lsa,
cos  = (2)
Agar bo’lsa, bo’lib cos =0 bo’ladi va (2) dan x₁x₂+y₁y₂+y₁y₂+z₁z₂ =0 (3)
(3) ikki vektorning perpendikulyarlik sharti. Agar va vektorlar parallel bo’lsa, u xolda bu vektorlarning kollinearlik shartidan ya’ni = dan x₁ +y₁ +z₁ =( x₂ +y₂ +z₂ ) x₁=x₂;
y₁=y₂ ; z₁=z_{2 .} (5) ikki vektorning parallelik sharti.