1- лаборатория иши

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INAVATSIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI URGANCH FILIALI



KOMPYUTER INJINERINGI FAKULTETI 914-22 GURUH TALABASI
ISKANDAROV XUSNIDDINNING


Diskret tuzulmalar
FANIDAN

MUSTAQIL ISH

Bajardi: Iskandarov Xusniddin

Qabul qildi: Masharipova Fazilat
URGANCH 2023
Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari. Hosil qiluvchi funktsiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi.

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom , Jamshid Koshiy binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I.Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi,ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.Nyuton binomi. Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. O'rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko'paytirish formulalarini eslaylik:

— yig'indining kvadrati;

— yig'indining kubi.

Yig'indining navbatdagi ikkita ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, yig'indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) va yig'indining beshinchi darajasi

formulalariga ega bo'lamiz.Yuqorida keltirilgan yig'indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o'ng tomonlaridagi ko'phad

koeffitsiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.

lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni formula bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan- ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi. Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat bo'lgan holida (ya'ni yig'indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va Ali Qushchi ifodani bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar.Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo'llagan.L.Eyler 1774-yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchunisbotladi,K.Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchunqo'lladi.Nihoyat,1825-yilda N.Abel daraja ko'rsatkichiningistalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodaniko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar soni n ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi.

Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koeffitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.
1-xossa. tenglik o'rinlidir.
Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki

elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:
bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.
2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni
Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi.

3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi

juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.
Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda (https://fayllar.org/saraton-kasalligi-turlari.html),
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi.
2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.
4- xossa. n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun
tenglik hmda n sondan oshmaydigan (https://fayllar.org/taomiman-navrozning-umidiman-rizq-rozning.html)
eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.
5-xossa.Toq n son uchun (https://fayllar.org/ml-magnit-kvant-son-s--spin-kvant-son-kiradi-bosh-kvant-son-n.html)
juft n son uchun esa
munosabatlar оrinlidir.
Haqiqatan ham, shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy
natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,
bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,
formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni
hosil qilamiz.
Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,
formuladan bo'lganda
tenglik kelib chiqadi.
Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bolib, unga ko`ra binomial koeffitsiyentlar oldin dan gacha (https://fayllar.org/x-bob-yol-haqi-va-bagajlarni-tashish-tayanch-sozlar-va-iborala.html)1 o'sadi, keyin esa
gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koeffitsiyentlar (https://fayllar.org/nyuton-binomi-yigindining-kvadrati-yigindining-kubi-yigindinin.html)
qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'lganda, uning o'rtadagisi
hadi eng katta va yagonadir.

6-xossa.
7-xossa.

8-xossa.
Oxirgi tenglik Koshi1 ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,

ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:

Bu yerdan, s ko'phaddagi x n ifodaning koeffitsiyenti
yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.
Ikkinchidan, s =(l+x)n(l +(1 +x)+...+(1 +x)k) ifodani geometrik
progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish
mumkin:
Bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning xn daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekanligini ko'rish mumkin.
Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz.
Ravshanki, formula e'tiborga olinsa, 7-8-xossadan m =k=n
bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat
8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.
Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,

tengliklarga, bulardan csa (l+x)n (1+x)m=(1+x)n+m bo'lgani uchun

tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglikning har ikki tomonidagi
xk(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz.
Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin.
Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.
2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan к (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan к talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.
Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha к elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor.
Tarkibida s (o≤S≤k)o'g'il bola bo'lgan к elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,keyin (k—s) qizlarni xil usullardan birontasi
yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan к talabadan
iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.
Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash
Mumkin.