1-§. Sirkul va chizg’ich yorlamida yasashga doir masalalar yasash pastulatlari…

4-§. Yasashga doir masalalarni yechish.
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan ifodalarda berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat ularning kvadrat ildizlarini o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning sirkul va chizg’ich vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda:
Ma’lum a,b,c,…kesmalar orqali ifodalangan kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin bo’lishi uchun bu ifoda berilgan kesmalardan iborat argumentlarga nisbatan ratsional va birinchi darajali bir jinsli funksiya bo’lishi yoki rauional amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari) bilan birga faqat kvadrat ildizlarni o’z ichigi olgan funksiya bo’lishi zarur va yetarlidir.
Teoremaning zururiy shartini isboti o’zidan-o’zi ko’rinib turibdi. Chunki, algebraik metod bilan yechiladigan barcha masalalar maktabda ko’rilgan 1-7 masalalarga keltirib yechiladi.
Yechimga ega bo’lmagan yasashga doir masalalarga ko’plab misollar keltirish mumkin. Masalan, kvadrat bo’lmagan to’g’ri to’rtburchakka ichki aylana chizish, aylani ichida yotgan nuqtadan shu aylanaga urinma o’tkazish mumkin emas va x.k.
Berilgan elementlari soni talabdan ko’p bo’lgan yasashga doir masalalarni yechimga ega bo’lgan masalalari kiradi. Masalan, birilgan ikki burchagi bo’yicha uchburchak yasash yoki berilgan 4 ta nuqtadan aylana o’tkazish va sh.k.
Amaliyotda yechimi mavjud, lekin tanlab olingan yoki berilgan yasash asboblari bilan ochib bo’lmaydigan masalalar katta ahamiyatga ega. Bu holda berilgan masalani berilgan yasash vositalari bilan yechish mumkin emasligi ko’rsatib bilishimiz lozib bo’ladi. Bu – qiyin masalalar qatoriga kiradi. Qadimdan juda ko’p olimlar sirkul va chizg’ich yordamida yechib bo’lmaydigan masalalar bilan shug’ullanishganliklari bizga ma’lum.

1. Aylanani to’g’rilash (Spryamleniye okrujnosti). «Uzunligi ga teng bo’lgan kesmani yasang». R=1 bo’lsa, yasashga keltiriladi. Bizga ma’lumki, taxminan niyasash mumkin (Arximed). Lekin 1882 yilda ni transendent son ekanligini F.Medemonn tomonidan isbot qilingan.

   
   

2. Doira kvadraturasi (Zadacha o kvadrature kruga). «Yuzi berilgan doiraning yuziga teng bo’lgan kvadrat yasang». dan kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasab bo’lmaydi. (1-masala).

   
   

3. Kubni ikkilantirish (Zadacha udvoyeniya kuba) «Xajmi berilgan kubni hajmidan 2 barobar katta bo’lgan kubning qirrasini yasang». agar a=1 bo’lsa, Algebradan ma’lumki, bu tenglama haqiqiy sonlardan iborat ildizga ega emas. Lekin ushbu masalani ikkinchi tartibli egri chiziqlardan foydalanib yechish mumkin.

   
   

b=2 bo’lsa

4. Burchakni teng 3 ga bo’lish (Zadacha o trisekuni ugla). «Berilgan α burchakni teng 3 ga bo’ling» Faraz qilaylik . Agar desak, (5.1) tenglamaga ega bo’lamiz. Xususiy holda a=0 bo’lsa, ( ) tenglama hosil bo’ladi. . Masala yechimga ega. Ya’ni, sirkul va chizg’ich yordamida ni yasayolamiz. Umuman, ixtiyoriy burchakni teng bo’lakka bo’lish mumkin ( ). Agar a=1 bo’lsa, ( ) bo’lib
tenglamagan ega bo’lamiz. Algebradan ma’lumki bu tenglik keltirilmaydi (ne privodim). Ya’ni 60⁰ ni sirkul va chizg’ich yordamida teng 3 ga bo’lib bo’lmaydi. R.Otajonov kitobida, ushbu masalani sirkul va ikkita nuqtasi belgilangan chizg’ich yordamida yechish mumkinligi ko’rsatilgan. (316 bet).
Muntazam ko’pburchaklarni yasash to’g’risida.
Ushbu muammo K.Gauss tomonidan 1796 yilda hal qilingan. n-tomoni muntazam ko’pburchakning sirkul va chizg’ich yordamida yasashning zarur va yetarli sharti ko’rinishida yozish mumkin. ekanligidadir. Bu yerda lar turli ko’rinishidagi tub sonlardir. Agar n tub son bo’lsa, uning ko’rinishi ko’rinishda bo’lishi zarur (Hozirgacha bunday sonlar chekli sonda yoki cheksiz ekanligi isbot qilimagan!). Misol tariqasida, aylanani 7 yoki 9 ta teng bo’lakka bo’lib bo’lmaydi, boshqacha qilib aytganda yirkul va chizg’ich yordamida muntazam 7 yoki 9 burchak yasab bo’lmaydi. Sababi . Xudi shunday 1⁰ burchakni chsab bo’lmaydi.
Tekislikdagi har uchtasi bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan va ma’lum tartibda olingan oltita A_1,A_2,A_3, A_4, A_5, A₆ nuqta (uchlari) va (A ₁ A₂) ,(A₂ A₃), (A_3, A₄) ,(A _{4 ,}A₅) ,(A _5, A₆) (A_6, A₁) to’g’ri chiziqlardan (tomonlari) tuzilgan figura olti uchlik deyiladi.

(A ₁ A₂) va (A₄ A₅), (A₂ A₃) va (A _5, A₆) , (A_3, A₄) va (A_6, A₁) tomonlar qarama- qarshi tomonlar A₁ bilan A₄ , A₂ bilan A₅, A₃ bilan A₆ uchlar qarama- qarshi uchlar deyiladi.