1-Amaliy mashg‘ulot. Ikkinchi va uchinchi tartibli aniqlovchilar

Yechish.
Kirxgofning birinchi va ikkinchi qonunlari orqali, m=6 ta shaxobcha, n=4 ta tugun va k=3 ta konturdan iborat bo‘lgan elektr zanjiri almashtirish sxemasi uchun
n-1+k ta mustaqil tenglamalarni tuzish mumkin, ya’ni:
Kirxgofning birinchi qonuniga ko‘ra n-1=4-1=3 ta tenglama.
Kirxgofning ikkinchi qonuniga ko‘ra k=3 tenglama tuziladi.
Umumiy holda ikkala qonun asosida tuzilgan tenglamalar tizimi 6 ta tenglamadan iborat bo‘ladi:

t ugun uchun

tugun uchun
tugun uchun
kontur uchun
kontur uchun
kontur uchun


Natija: Sxemadagi qarshiliklar qo‘llanilganda tenglamalarni quyidagicha ifodalash mumkin:





6-Amaliy mashg‘ulot. Elektr ta’minoti sistemalarni holat tenglamalarini teskari matritsa usulida yechish.

6.1. misol. 𝐹(𝑥) = 2𝑥² − 12𝑥 funksiya berilgan. Saralash usuli yordamida [0,8] oraliqda ε= 0,5 xatolik bilan ushbu funksiyaning minimum qiymatini aniqlang.

Yechish. Ushbu funksiya keltirilgan oraliqda unimodal, chunki funksiyaning birinchi tartibli xosilasi ushbu oraliqda usuvchi bo‘ladi, demak saralash usulini qo‘llay olamiz.
Oraliqlar sonini aniqlaymiz: 𝑛 ≥

x	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
F(x)	0,0	-5,5	-10,0	-13,5	-16,0	-17,5	-18,0	-17,5	-16,0
x	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8
F(x)	-13,5	-10,0	-5,5	0,0	6,5	14,0	22,5	32,0

Funksiyaning minimum qiymatini tanlab olamiz: 𝑥 = 3 da (𝑥) = −18

6.2. misol. Yuqorida keltirilgan misolni ikkiga bo‘lish usuli yordamida yeching. Bu yerda 𝛿 = 0.4 deb olingan. Hisob-kitob yuqorida berilgan algoritm asosida bajariladi. Buning uchun quyidagi jadvalni tuzib olamiz.

a	b	e	x1	x2	f(x1)	f(x2)	shart
0,00	8,00	4,00	3,80	4,20	-16,72	-15,12	----
0,00	4,20	2,10	1,90	2,30	-15,58	-17,02	----
1,90	4,20	1,15	2,85	3,25	-17,96	-17,88	----
1,90	3,25	0,68	2,38	2,78	-17,22	-17,90	----
2,38	3,25	0,44	2,61	3,01	-17,70	-18,00	bajarildi

Natijada

6.3. misol. Yuqorida keltirilgan misolni oltin kesim usuli yordamida yeching. Hisob-kitob nazariy qismda berilgan algoritm asosida bajariladi. Buning uchun quyidagi jadvalni tuzib olamiz.

a	b	e	x1	x2	xs	f(x1)	f(x2)	shart
0,00	8,00	4,94	3,06	4,94	3,06	-17,99	-10,44	----
0,00	4,94	3,06	1,89	3,06	3,06	-15,53	-17,99	----
1,89	4,94	1,89	3,06	3,78	3,06	-17,99	-16,79	----
1,89	3,78	1,17	2,61	3,06	3,06	-17,70	-17,99	----
2,61	3,78	0,72	3,06	3,33	3,06	-17,99	-17,78	----
2,61	3,33	0,45	2,89	3,06	3,06	-17,97	-17,99	bajarildi

Natijada 𝑥 = 𝑥_𝑠 = 3,06; 𝐹(𝑥) = 2𝑥² − 12𝑥 = − 17,99

6.4. misol. Simpleks jadvallari yordamida quyidagi chiziqli dasturlashtirish masalasini yeching.

Maqsad funksiyasi: 𝑍 = 5𝑥₁ + 3𝑥₂ → 𝑚𝑎𝑥.
Cheklovlar: Chegaraviy shartlar: 𝑥₁ ≥ 0; 𝑥₂ ≥ 0.
Simpleks jadvallarni hisoblash algoritmi nazariy qismda berilgan. Shu algoritmga asosan hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.
Yechish. Maqsad funksiyasi va cheklovlarni kanonik ko‘rinishga keltiramiz. Cheklovlarga 𝑥₃ va 𝑥₄ o‘zgaruvchilarini kiritamiz:
𝑧 − 5𝑥₁ − 3𝑥₂ = 0
𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ = 4
5𝑥₁ + 2𝑥₂ + 𝑥₄ = 10
Boshlang‘ich simpleks jadvalni tuzamiz:

Bazis	B	x1	x2	x3	x4
x3	4	1	1	1	0
x4	10	5	2	0	1
Z	0	-5	-3	0	0

Maqsad funksiyasi qatorining 𝑧_𝑖 koeffitsientlari ichida manfiy elementlar mavjud demak bu holat optimal emas.

Iteratsiya 1. Moduli bo‘yicha eng katta qiymatga ega 𝑥₁ bazisga kiritiladi 𝑥₄ esa chiqariladi.

Bazis	B	x1	x2	x3	x4
x3	2	0	3/5	1	-1/5
x1	2	1	2/5	0	1/5
Z	10	0	-1	0	1

Maqsad funksiyasi qatorining 𝑧_𝑖 koeffitsientlari ichida manfiy elementlar mavjud demak bu holat optimal emas.

Iteratsiya 2. Moduli bo‘yicha eng katta qiymatga ega 𝑥₂ bazisga kiritiladi 𝑥₃ esa chiqariladi.

Bazis	B	x1	x2	x3	x4
x2	10/3	0	1	5/3	-1/3
x1	2/3	1	0	-2/3	1/3
Z	40/3	0	0	5/3	2/3

Maqsad funksiyasi qatorining 𝑧_𝑖 koeffitsientlari ichida manfiy elementlar mavjud emas demak bu holat optimal.

Ushbu jadval asosida: 𝑥₁ = ²⁄3; 𝑥₂ = ¹⁰⁄3 ; 𝑍(𝑥₁, 𝑥₂) = ⁴⁰⁄3

6.5. misol. Quyidagi nochiziqli dasturlashtirish masalasini Lagranj usuli bilan yeching.

Maqsad funksiyasi: 𝑍 = 2(𝑥₁ − 1)² + 3(𝑥₂ − 3)² → 𝑚𝑖𝑛.
Cheklovlar: 𝑥₁ + 𝑥₂ = 6 Chegaraviy shartlar: 𝑥₁ ≥ 0; 𝑥₂ ≥ 0.
Lagranj usulida hisoblash algoritmi nazariy qismda berilgan. Shu algoritmga asosan hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.
Yechish. Ruxsat etilgan yechimlar maydoni va to‘g‘ri chizig‘i kesishmasi MN kesimni beradi M(0,6) va N(6,0) Shu sababli yechim statsionar yoki M va N nuqtalarda bo‘lishi mumkin. Lagranj funksiyasini tuzib olamiz:

Lagranj funksiyasidan xususiy xosilalar olamiz va ularni nolga tenglashtiramiz:

Tenglamalar tizimini yechib statsionar nuqta ni topamiz.

Maqsad funksiyaning K, M va N nuqtalardagi qiymatlarini solishtiramiz.


Z(K) = 4,76, Z(N) = 77, Z(M) = 29.

Natijada, .

Mustaqil bajarish uchun qo‘shimcha misollar.

№	6.1-6.3 misollar	6.4 misol	6.5 misol
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

7-Amaliy mashg‘ulot. Elektr ta’minoti sistemalarni holat tenglamalarini Gauss usulida yechish.

Misol va masalalar.

7.1. misol. EET yuklamasini ikkita issiqlik elektr stansiyalari (IES) o‘rtasida optimal taqsimlang va umumiy yokilg‘i sarfini toping. IES sarf tavsiflari:

Aktiv yuklama quvvati: 𝑃_yu = 500 MVt.

Hisoblash aniqligi 𝜀 = 0.01 MVt

Yechish. Dastavval IESlarning NO‘Tlarini topamiz

𝑏₁(𝑃₁) = 0.2 + 0.002𝑃₁, 𝑏₂(𝑃₂) = 0.2 + 0,004𝑃₂

ΔP_Σ=0 deb hisoblab, quvvat balansi sharti va nisbiy o‘sishlarning tengligidan foidalanib quyidagi tenglamalar tizimini yozish mumkin:

ε₁ va ε₂ larni berilgan nisbiy o‘sish tavsiflari orqali ifodalaymiz. Quvvat balansidan foydalanib noma’lum R₂ ni R₁ orqali ifodalaymiz.

Natijada quyidagi tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

P_yu=500 MVt ekanligini e’tiborga olib ikki noma’lumli (P₁ va P₂) ikkita tenglamadan iborat bo‘lgan tizimni yechib, optimal holatni topamiz:

0,2 + 0,002𝑃₁ = 0,2 + 0,004(𝑃_yu − 𝑃₁)

0,006𝑃₁ = 2
𝑃₁ = 333,33 MVt, 𝑃₂ = 500 – 333,33 = 166,67 MVt

Natijani nisbiy o‘sishlarning tengligi sharti bo‘yicha tekshiramiz:

𝑏₁ = 0,2 + 0,002 ∙ 333,33 = 0,867; 𝑏₂ = 0,2 + 0,004 ∙ 166,67 = 0,867.

IESlardagi yoqilg‘i sarflarini topamiz:

B₁ = 100 + 0,2 ∙ 333,33 + 0,001 ∙ 333,33² = 277,77 t. sh. yo./soat

B₂ = 60 + 0.2 ∙ 166.67 + 0,002 ∙ 166.67² = 148.89 t. sh. yo./soat
B_Σ = B₁ + B₂ = 277.77 + 148.89 = 426,66 t. sh. yo./soat

Natija: 𝑃₁ = 333,33 MVt, 𝑃₂ = 166,67 MVt, B_Σ = 426.66 t. sh. yo./soat

7.2. misol. 7.1 misolda keltirilgan masalani gradient usulida yeching.

Yechish. Balanslovchi stansiya sifatida IES 1 qabul qilinadi. Erkin o‘zgaruvchining boshlang‘ich qiymati sifatida deb olamiz.
1chi IES ga mos keladigan quvvatni aniqlaymiz:

STlardan foydalanib umumiy yoqilg‘i sarfini aniqlaymiz:

𝐵₁⁽⁰⁾ = 100 + 0.2 ∗ 300 + 0.001 ∗ 300² 𝐵₂⁽⁰⁾ = 60 + 0.2 ∗ 200 + 0.002 ∗ 200²

𝐵Σ(0) = 𝐵1(0) + 𝐵2(0) = 450 t. sh. yo./soat

Qadamni oddiy tanlab olish usulidan foidalanamiz: Boshlang‘ich qadam sifatida qabul qilamiz.

1-iteratsiya:





,


,


,


, bu yerda
2-iteratsiya.





,


,


,


, bu yerda

Keyingi iteratsiyalar shu tarzda bajariladi. Hisob-kitob natijalari quyidagi jadvalda berilgan.

Iteratsiya	P1, MVt	P1, MVt	B, t t.sh.yo./soat
0	300,0	200,0	430,0
1	340,0	160,0	426,8
2	332,0	168,0	426,672
3	333,6	166,4	426,6678
4	333,28	166,72	426,6671
5	333,28	166,72	426,6670

Natija 𝑃₁ = 333,28 MVt, 𝑃₂ = 166,72 MVt, 𝐵_Σ = 426.667t.sh. yo./soat

7.3. misol. 2ta IESlari o‘rtasida tarmoqdagi isroflarni e’tiborga olgan holda taqsimotni amalga oshiring. Almashtirish sxemasi quyidagi ko‘rinishga ega.

IES sarf tavsiflari:

B₁(𝑃₁) = 200 + 3𝑃₁ + 0.1𝑃₁² + 0.001333𝑃₁³, t. sh. yo./soat

B₂(𝑃₂) = 200 + 4𝑃₂ + 0,075𝑃₂² + 0.001𝑃₂³, t. sh. yo./soat

Sxema va yuklama bo‘yicha ma’lumotlar:

𝑆_yu = 𝑃_yu + 𝑗𝑄_yu = 100 + 𝑗60 MVA,

𝑈₁ = 220 kV, 𝑈₂ = 242 kV,
𝑅₁ = 2 Om, 𝑅₂ = 5 Om,
𝑄₁ = 25 MVar, 𝑄₂ = 30 MVar

Yechish. Sarf tavsiflaridan foidalanib nisbiy o‘sish tavsiflarini aniqlaymiz:

Tarmoqdagi aktiv quvvat isroflari quyidagicha aniqlanadi:

(1)

Isroflar e’tiborga olinganda optimallik me’zonini va quvvatlar balansidan quyidagi tenglamalarni quramiz:

(2)

𝑃₁ + 𝑃₂ − 𝑃_yu − ∆𝑃_Σ = 0 (3)

(4)

Ushbu masalani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz.

1. 
   Dastlabki yaqinlashish. Isroflar e’tiborga olinmagan holatdagi taqsimot olinadi: 𝑃₁ = 46,177 MVt, 𝑃₂ = 53,823 MVt. Shu taqsimotga mos 1 formula bo‘yicha isrof topiladi:
   

Isrofni e’tiborga olganda taqsimotni qayta ko‘rib chiqamiz:

3 + 0,2𝑃₁ + 0.004𝑃₁² = 4 + 0,15(100 + 0,44 − 𝑃₁) + 0.003(100 + 0,44 − 𝑃₁)²

𝑃₁² + 50𝑃₁ − 2338,19 = 0
Natija 𝑃₁ = 58,87 MVt, 𝑃₂ = 40,69 MVt, ∆𝑃_Σ = 0.438 MVt
Ushbu taqsimotga mos keluvchi umumiy yoqilg‘i sarfi olinadi:

2) So‘ngra hisob-kitob iteratsion tarzda amalga oshiriladi va xar bir iteratsiyada quyidagilar hisoblanadi:

4 formula bo‘yicha isroflarning nisbiy o‘sishi 𝜎;
2 formula bo‘yicha birinchi IES quvvati 𝑃₁;
1 formula bo‘yicha quvvat isrofi ∆𝑃_Σ;
3 formula bo‘yicha balanslovchi ya’ni ikkinchi IES quvvati 𝑃₂.
Hisob-kitob jarayoni ikkala IES quvvatlari keskin o‘zgarmagunga qadar (masalan, 0.1 MVt) davom ettiriladi.
3) Iteratsion jarayon natijasida quyidagilar olinadi:
Natija 𝑃₁ = 46,3 MVt, 𝑃₂ = 54,14 MVt,∆𝑃_Σ = 0.442 MVt
Ushbu taqsimotga mos keluvchi umumiy yoqilg‘i sarfi olinadi:

Mustaqil bajarish uchun qo‘shimcha misollar.

№	7.1 – 7.2 misollar uchun
1	B1(𝑃1) = 100 + 0.2𝑃1 + 0.004𝑃1^2, t. sh. yo./soat B2(𝑃2) = = 80 + 0.2𝑃2 + 0,002𝑃2^2, t. sh. yo./soat	𝑃yu = 600 MVt. 𝜀 = =0.01 MVt
2	B1(𝑃1) = 100 + 0.3𝑃1 + 0.001𝑃1^2, t. sh. yo./soat B2(𝑃2) = =60 + 0.4𝑃2 + 0,003𝑃2^2, t. sh. yo./soat	𝑃yu = 620 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt
3	B1(𝑃1) = 100 + 0.3𝑃1 + 0.003𝑃1^2, t. sh. yo./soat B2(𝑃2) = = 70 + 0.2𝑃2 + 0,004𝑃2^2, t. sh. yo./soat	𝑃yu = 550 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt
4	B1(𝑃1) = 110 + 0.2𝑃1 + 0.001𝑃1^2, t. sh. yo./soat B2(𝑃2) = = 65 + 0.2𝑃2 + 0,002𝑃2^2, t. sh. yo./soat	𝑃yu = 580 MVt. 𝜀 = =0.01 MVt
5		𝑃yu = 590 MVt. 𝜀 = =0.01 MVt
6		𝑃yu = 540 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt
7		𝑃yu = 520 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt
8		𝑃yu = 530 MVt. 𝜀 = =0.01 MVt
9		𝑃yu = 510 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt
10		𝑃yu = 520 MVt. 𝜀 = = 0.01 MVt

№	7.3 misollar uchun
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10