1-Amaliy mashg’ulot Sonli qatorlar, qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining solishtirish alomatlari

1-Amaliy mashg’ulot
Sonli qatorlar, qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining solishtirish alomatlari



1-ta'rif. Sonli

ketma-ketlik hadlaridan tuzilgan
ifodaga sonli qator deyiladi (1)
Bu yerda qator hadlari, esa qatorning umumiy hadi deyiladi.
Yuqoridagi ta'rifdan ko‘rinadiki qator ma'lum qonuniyat bilan tuzilgan sanoqli sondagi qo'shiluvchilar yig‘indisi bilan aniqlanar ekan.
(1) qatorning dastlabki chekli sondagi hadlaridan tuzilgan ushbu





yig‘indilarga, shu qatorning xususiy yig‘indilari deyiladi.
Agar qator hadlari sanoqli ekanligini e'tiborga olsak xususiy yig‘indilar ham o‘z navbatida sonli ketma-ketlikni tashkil etishini ko‘ramiz.
2-ta'rif. Agar xususiy yig‘indilarning {S_n} ketma-ketligi

chekli limitga ega bo‘lsa u holda ushbu yaqinlashuvchi qator, limit S esa qator yig‘indisi deyiladi va
(2)
ko‘rinishda yoziladi.
3-ta'rif. Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lmasa (limiti cheksiz yoki mavjud emas), u holda (1) uzoqlashuvchi qator deyiladi.
Qatorlar nazariyasini bayon qilishni yaqinlashuvchi qatorlarning ba'zi sodda xossalarning keltirishdan boshlaymiz.
Deylik, (1)-qator

berilgan bo‘lsin. Uning hadlaridan tuzilgan

ko‘rinishdagi qatorga (1) qatorning -qoldig‘i deyiladi. U ham o‘z navbatida qatordir.
1-teorema. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning har qanday qoldig‘i ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha, qator qoldig‘i yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning o‘zi ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2-teorema. Agar yaqinlashuvchi qator bo‘lib, yig‘indisi S bo‘lsa,
qator ham yaqinlashuvchi qator bo‘lib, yig‘indisi, ga teng bo‘ladi.
3-teorema. Agar va yaqinlashuvchi qatorlar bo‘lsa,

qatorlar ham yaqinlashuvchi qatorlar bo‘lib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1-misol. Quyidagi qatorlar uchun yaqinlashishning zaruriy sharti bajarilishi tekshirilsin:
a) ; b) ; c) .

Yechish: a) da umumiy hadning limitini topamiz:

.
Yaqinlashishning zaruriy sharti bajarilyapti va qator yaqinlasuvchi bo‘lishi mumkin.
b) da umumiy hadning limitni topamiz:
.
Limit 0 ga teng emas, ya’ni uzoqlashishning yetarli sharti bajarilyapti. Shuning uchun berilgan qator uzoqlashuvchi.
c) Berilgan qatorning umumiy hadini topamiz:
.
Demak, . da uning limitini topamiz:

bo‘lgani uchun qator yaqinlasuvchi bo‘lishi mumkin.
Birinchi va uchinchi misoldagi qator uchun yaqinlashishning zaruriy sharti bajarilyapti, shuning uchun ular yaqinlashishi mumkin, ammo ular uzoqlashishi ham mumkin, buni faqat yaqinlashishning yetarli alomatlari bilan tekshirish mumkin.