1-Amaliy mashg’ulot Sonli qatorlar, qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining solishtirish alomatlari

Qatorning yig’indisini toping.

1. 
   
   
2. 
   
   

1-misol. Quyidagi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring: a) ;
b) ; c) ; d) .
Yechish. a) Berilgan qatorning umumiy hadni funksiyaga almashtiramiz (bu funksiya oraliqda uzluksiz va kamayuvchi, shuning uchun Koshining integral alomatini qo‘llash mumkin) va xosmas integralni yaqinlashishga tekshiramiz:
.
Integral yaqinlashadi, demak, Koshi integral alomati bo‘yicha qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
b) Oldin umumiy hadni topamiz: . Shu sababli xosmas integralni yaqinlashishga teksiramiz:


.
Integral uzoqlashuvchi bo‘lgani uchun tekshirilayotgan qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
c) Oldin umumiy hadni topamiz: . funksiya uchun Koshining integral alomatiga ko‘ra xosmas integralni yaqinlashishga tekshiramiz:
.
Xosmas integral va shu bilan birga berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
d) Berilgan qatorning umumiy hadini

Funksiyaga almashtiramiz va

Integralni qarab chiqamiz. Bu integralda quyi chegarasi 3 deb olingan, chunki qaralayotgan funksiya oraliqda aniqlangan bo‘lib, shu oraliqda uzluksiz, kamayuvchi funksiyadir.

bo‘lgani uchun berilgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2-misol. Quyidagi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
Yechish. Berilgan qatorlarni solishtirish alomatlari yordamida tekshiramiz. a) qatorni qator bilan taqqoslaymiz. va uzoqlashuvchi qator bo‘lgani uchun berilgan qator ham solishtirish alomatiga ko‘ra uzoqlashuvchi bo‘ladi (oxirgi qator umumlashgan geometric qator bo‘lib, unda ).
b) tengsizlikdan kelib chiqadi. Tekshirilayotgan qatorning umumiy hadi uzoqlashuvchi qarmonik qator umumiy hadidan katta bo‘lgani uchun berilgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
c) Berilgan qatorning umumiy hadini topamiz:
,
bundan ni topamiz. hadli qatorni qarasak, u mahraji bo‘lgan geometrik qator bo‘lib, yaqinlashuvchi. Tekshirilayotgan qatorning umumiy hadi bu qatorning mos hadidah kichik bo‘lgani uchun berilgan qatorning ham yaqinlashishi kelib chiqadi.
d) Quyidagi yordamchi qatorni qaraymiz:
.
Oxirgi ifodaning chap tomonida, qavs ichida 4 ta hadi tashlab yuborilgan garmonik qator yozilgan, ya’ni 4 ta birinchi hadisiz garmonik qator turibdi. Qatorning dastlabki bir nechta hadini tashlab yuborish uning yaqinlashishiga yoki uzoqlashishiga ta’sir qilmaydi. Shuning uchun yordamchi qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Berilgan qatorning umumiy hadlarini yordamchi qatorning umumiy hadlari bilan taqqoslaymiz: har qanday uchun tengsizlik o‘rinli. Demak, tekshirilayotgan qator uzoqlashadi.
e) Berilgan qatorni cheksiz kamayuvchi geometrik qator bilan taqqoslaymiz. Lopital qoidasidan foydalanib, ularning umumiy hadlari nisbatining limitini topamiz:
.
Bu limit chekli bo‘lgani uchun tekshirilayotgan qator, solishtirish alomatiga ko‘ra yaqinlashuvchi bo‘ladi.
f) Tekshirilayotgan qatorning umumiy hadini garmonik qatorning umumiy hadiga nisbati limitini topamiz:
.
Limit mavjud va chekli bo‘lgani uchun berilgan qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.


_{Mustaqil yechish uchun misol va masalalar.}
Solishtirish alomatiga ko’ra quyidagi qatorlani yaqinlashishga tekshiring:

1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.


Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   C. Canuto, A. Tabacco. Mathematical Analysis II. Springer-Verlag Italia, Milan 2008..
   
2. 
   J. Stewart, Calculus, 2008.
   

1^ C. Canuto, A. Tabacco. Mathematical Analysis II. Springer-Verlag Italia, Milan 2008. pp 4-10.

2^ J. Stewart, Calculus, 2008. pp 687-694.