4-teorema. Agar (1) sistema tekislikdagi sohada berilgan bo‘lib, vektor maydon holat tezliklari, potensialli bo‘lsa, u holda (1) sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lmaydi.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik. Aytaylik (1) avtonom sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lsin. Holat tezliklar maydoni potensiali bo‘lgani uchun ushbu
tenglik o‘rinli bo‘ladi ( da yo‘nalish soat strelkasiga qarshi). Ikkinchi tomondan, bo‘lsa, va (1) tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda (1) sistemaning davrli yechimi bo‘lib, -yopiq trayektoriyani aniqlaydi. Shuning uchun
ziddiyat kelib chiqadi.■
3-ta’rif. Quyidagi
1) akslantirish sohani sohaga o‘zaro bir qiymatli akslantiradi;
2) Ushbu , va , vektor-funksiya mos ravishda va sohalarda uzluksiz differensiallanuvchi;
3) Ushbu munosabat o‘rinli
,
Shartlarni qanoatlantiruvchi akslantirishga sohada silliq teskarilanuvchi akslantirish deyiladi.
5-teorema. Aytaylik (1) sistemadagi vektor-funksiya sohada uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtada bo‘lsin. U holda nuqtaning atrofi va shunday teskarilanuvchi almashtirish mavjud bo‘lib, shu atrofda (1) sistema
ko‘rinishni oladi. Bundan tashqari (1) sistemaning trayektoriyalari atrofda tog‘ri chiziq kesmalariga o‘tadi. Bunda o‘zgarmas sonlar.
2. CHIZIQLI O‘ZGARMAS KOEFFITSIYENTLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI MUVOZANAT (MAXSUS) NUQTASINING KLASSIFIKATSIYASI Ushbu
(1)
o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda haqiqiy sonlar -erkli o‘zgaruvchi, -noma’lum vektor funksiya. Ko‘rinib turibdiki, (1) -avtonom sistema. Berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlaridan
