1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

I BOB LAPLAS ALMASHTIRISHI VA UNING XOSSALARI

1.1 § Laplas almashtirishi

^{Haqiqiy argument} t ^{- ning}
t  0

qiymatlarda aniqlangan

f _ t _

funksiya

berilgan bo‟lsa (yoki

  t   desak, t<0 bo‟lganda

f _ t _  0

deb olamiz) va

f _ t _

– funksiya chekli sondagi 1 tur uzilishga ega bo‟lsin.

Bu funksiya 0  t   cheksiz intervalda integrallanuvchi bo‟lishi uchun

f ( t )

 M e ^{S 0 t}

(1.1.1)

bo‟lishi kerak ( 0  t   ). Endi

f _ t _

funksiyaning

_e  pt

kompleks funksiyaga

ko‟paytmasini ko‟ramiz. (bunda p

 a  ib ,

a  0 )

e ^{ pt} f ( t ) (1.1.2)
(1.1.2)- funksiya haqiqiy argumentning komplekis funksiyasidir, haqiqatdan ham:

_e  p t _{f (t )  e}  ( a  ib ) t _{f (t )  e}  a t _{f (t ) e}  ib t

Quyidagi hosmas integralni ko‟ramiz:

 e ^{ at} f (t ) co s b t  ie ^{ at} f (t ) sin b t

  

_ e ^{ p t} f ( t ) d t 

_ e ^{ a t} f ( t ) c o s b td t  i _ e ^{ a t} f ( t ) s in b td t

(1.1.3)

Agar
f _ t _

0 0 0
funksiya (1.1.1) shartni qanoatlantirsa va

a  S ₀
bo‟lsa u holda (1.1.3)

ning o‟ng tomonidagi integrallar mavjud bo‟ladi va absolyut yaqinlashadi:

S ₀ - son

f _ t _

funksiyani o‟sish ko‟rsatkichi deyiladi.

(Shunga o‟xshash ikkinchi integralni ham yaqinlashishini ko‟rsatish mumkin).



Shunday qilib _

0
e ^{ pt} f ( t ) d t

mavjud va p - ning biror funksiyasidir; biz uni

F ( p )

deb belgilaymiz:



F ( p )  _ e ^{ pt} f ( t ) d t

0

(1.1.4)

F ( p ) – funksiya

f _ t _

funksiyaning Laplas tasviri yoki 1- tasvir (yoki tasviri)

deyiladi.

f _ t _

funksiya original funksiya yoki original deyiladi. F(t)- funksiyaning

f _ t _

– originalga nisbatan tasvir ekani quyidagicha yoziladi:

F ( p ) 

f ( t )

yoki

f ( t ) 

F ( p )

yoki

L _ f (t )_ 

F ( p )

(1.1.4) - integralni Laplas almashtirishi deb ham yurutiladi.

Tasvirlari bir hil bo‟lgan funksiyalar haqida quyidagi teorema o‟rinlidir.

Teorema. Agar ikkita  ( t )

va 
( t )

uzluksiz funksiyalar bitta bir xil tasvirga

ega bo‟lsalar, u holda bu funksiyalar aynan tengdir.

^ ₀ ^{( t ) ,} sin t ^va cos t ^{funksiyalar tasvirlarini topaylik.}

1. 
   f
   

_ t _ - funksiya quyidagicha aniqlangan bo‟ladi;

_1 ag ar

f ( t )  <sub>

</sub> 0 ag ar

t  0 b o 'ls a

t  0 b o 'ls a

Bu funksiya Xevisaydning birlik funksiyasi deyiladi va  ₀ ( t )

deb belgilanadi

_1 ,

 ₀  _

_ 0 ,

t  0

t  0

 ₀ ( t )

funksiya tasvirini topamiz:



 ₁

^L <sup> 0

( t )</sup> ^

_ e ^{ pt} d t   


0
p

0

Demak: 1  ¹

p

yoki

1

 ₀ ( t ) 

p

Ba‟zan

f _ t _ - funksiyani tasviri uchun



F * ( p )  _

0
e ^{ pt} f ( t ) d t

ifoda olinadi. Bu holda: ^ ₀ ^{( t )  1}

demak C  C

yoki <sup>C  0 ( t ) 

C ,</sup> bo‟ladi.

2. 
   f
   

_ t _  sin t
L _ s in t _ 





_ e ^{ pt} s in td t  

1

p ²  1

0 ₀

3. 
   f
   

_ t _ 


co st


s in t 

1


p ²  1



p

L _ c o s t _ 

_ e ^{ pt} c o s td t 

0

 ;

p ²  1

0

c o s t 

p _.

p ²  1

Izoh. 1)

_ e ^ax s in b xd x 

e ^ax ( a

s in b x  b c o s b x )

a ²  b ²

2. 
   _ e ^ax c o s b xd x 
   

e ^ax ( b

s in b x  a c o s b x )

a ²  b ²

Integrallar bo‟laklab integrallash formulasiga asosan hisoblanadi.

1. 2 § Laplas almashtirishning xossalari

1. 
   Ixtiyoriy o’zgaruvchi t ning masshtabi o’zgarganda
   

f _ t _

– funksiyani tasviri.

a  0

bo‟lganda

f _ a t _

– funksiyani tasvirini topamiz. Ta‟rifga ko‟ra



^L  ^{f ( a t )} ^ _ ^e  pt ^{f ( a t ) d t}

0

itegralda z  at

almashtirishni bajarsak

z

t  ,

1

d t  dz

bo‟ladi, demak

₁ ^  ^p z

a a
1 _ p _

^L  ^{f ( a t )} ^

_{ e} a

f ( z ) d z 

^F  

a ₀ a

 ^a 

1 _ p _

yani agar

F ( p ) 

f ( t )

bo‟lsa

F _{ } 

f ( a t )

bo‟ladi

a _ a _

Misol. 1)

1 1

2
s in at 


 1
^a  ^p 

 

yoki

a

s in at 

p ²  a ²

 ^a 

2) c o s at 

p

1 _a

2

 1
^a  ^p 

 
yoki

c o s at 
p _.

p ²  a ²

 ^a 

2. Tasvirning chiziqlili xossasi

Teorema. O‟zgarmas ko‟paytuvchiga ko‟paytirilgan bir nechta funksiyalar yig‟indisini tasviri shu funksiyalar tasvirlarini mos ko‟paytuvchilarga ko‟paytmalarining yig‟indisiga tengdir, yani

n

f ( t )  _ c_i f _i ( t )

i  1

(1.2.1)

(bunda c _i

lar o‟zgarmas sonlar),
F ( p ) 
f ( t )

va F_i ( p ) 

f _i ( t )

bo‟lsa, u holda

n

F ( t )  _ c_i F_i ( p )

i  1

(1.2.2)

Isbot. (1.2.1) tenglikni hadlab integrallasak (1.2.2) kelib chiqadi.

_e  pt

ga ko‟paytrib, 0 dan  gacha oraliqda

Misol. 1)

f _ t _

 3 sin 4 t

– 2 cos 5 t

_ 1 _ 4

p 1 2 2 p

L _{ }  3

 ^t 

 2

p ²  1 6



p ²  2 5



p ²  1 6

;

p ²  2 5

2) F ( p ) 

5 2 0 p



berilgan tasvirga ko‟ra original funksiya

topilsin.

p ²  4 p ²  9

5 2 p

F ( p )   2 0

² p ²  4 p ²  9

f ( t ) 

5

s in 2 t  2 0 c o s 3 t

2