1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

Originalni differensiallash va integrallash

Teorema1. Agar bo‟ladi.

F ( p ) 

f ( t )

bo‟lsa, u holda

P F ( p ) *

f ( 0 ) 

f ^( t )

Isbot. Tasvirni ta‟rifiga ko‟ra:


^L  ^{f ( t )} ^ _ ^e  pt ^{f ( t ) d t .}

0

Bu integralni bo‟laklab integrallaymiz:



• 
  p t
  

• 
  p t
  

^   p t

^I  ^{f ( t )} ^

_ e f ^( t ) d t

0

 e f ( t )

0

• 
  p _ e f (t ) d t
  

0

 0 

f ( 0 ) 

p F ( p );

(bunda lim e ^{ pt} f ( t )  0 ,

t  
Shu yo‟l bilan:



_ e ^{ pt} f ( t ) d t 

0

^F  ^p  ^{). Demak}
p F ( p ) 
f ( 0 ) 
f ^( t )

p _ p F ( p ) 

f ( 0 ) _ 

f ^( 0 ) 

f ^( t )
yo k i

p ² F ( p ) 

p f ( 0 ) 

f ^( 0 ) 

f ^( t )

                     

p ⁿ F ( p )  ^ p ^{n 1} f ( 0 ) 

p ^{n 1} f ^( 0 )  

p f ^{( n  2 )} ( 0 ) 

_f ( n  1 ) _{( 0 )  }

f ^{( n )} ( t )

 

Hususiy holda, agar

bo‟lsa, u holda:

f ( 0 ) 

f ^( 0 )  

f ^{( n 1)} ( 0 )  0

F ( p ) 

p F ( p ) 
f ( t )

f ^( t )

         

p ⁿ F ( p )  f ^{( n )} ( t )
^t F ( p )

Teorema 2. Agar

f ( t ) 

F ( p )

bo‟lsa, u holda

_ f ( u ) d u 

₀ p

bo‟ladi.

Isbot.

t

 ( t )  _

0
f ( u ) d u 

Ô ( p )

deb belgilasak, 1-teoremaga asosan:

 ^( t ) 

p Ô ( p )   ( 0 ) 
p Ô ( p )

bo‟ladi ( ( 0 ) 

0 ) .

t


_ ( t ) _^  ^ _

 0

Misol.





f ( u ) d u _ 


f ( t )

bo‟lgani uchun
t

_ f ( u ) d u 

0
F ( p )

p
kelib chiqadi.

c o s t 

p _;

p ²  1

_ c o s td t  s in t 

1 _.

p ²  1

Odatda funksiyaning tasviri uchun jadval tuziladi va amalda foydalaniladi.

Bazi bir originallar va ularni tasvirlari.

№	Original f  t 	tasvir F  t 
1.	 0 ( t )	1 p
2.	e  t	1 p  
3.	e   t	1 p  
4.	sin at	a p ^2  a ^2
5.	cos at	p p ^2  a ^2
6.	shat	a p ^2  a ^2
7.	chat	p p ^2  a ^2
8.	e ^ ^ ^t s in a t	a ( p   ) ^2  a ^2
9.	e ^ ^ ^t c o s a t	p   ( p   ) ^2  a ^2
10.	t n	n ! p n  1

11.	e   t t n	n ! ( p   ) ^n ^^1
12.	e   t t n	n ! ( p   ) ^n ^^1
13.	t sin a t	2 pa ( p ^2  a ^2 ) ^2
14.	t cos at	p ^2  a ^2 ( p ^2  a ^2 ) ^2
15.	f ( a t )	1 p F ( ) a a
16.	e ^ ^ ^t f ( t )	F ( p   )
17.	f ^( t )	p F ( p )  f ( 0 )
18.	t  f ( u ) d u 0	F ( p ) p
19.	t ^n f (t )	d n (  1) ^n F ( p ) dp ^n
20.	f ( t ) t	  F ( p ) d p 0
21.	t  f1 ( ) f 2 ( t   ) d  0	F1 ( p ) F 2 ( p )

6. 
   Tasvirlari ratsional kasr bo’lgan funksiyani topish
   

Noma‟lum

f _ t _ - funksiyani tasviri

 ( p )

F ( p ) 

 ( p )

to‟g‟ri ratsional kasr bo‟lsin.

Ma‟lumki, har qanday to‟g‟ri ratsional kasrni quyidagi ko‟rinishdagi elementar kasrlarni yig‟indisi shaklida ifodalash mumkin:

A A A p  B A p  B

1 . 2 . 3 . 4 .

^{p  a} ( p  a ) ^k p ²  a p  b

_a 2

( p ²

 a p  b ) ^k

b u n d a

• 
  b ₂
  

4

 0 v a

k  2

Bu kasrlarni har biriga nisbatan original funksiyasini topamiz.

1. 
   ^A 
   

p  a

_Ae at

2. 
   ^A
   

( p  a ) ^k

1

 A

( k  1) !

_t k  1 _e a t



A _ p 

^a  

• 
  B
  

 

A a _

 _

3. 
   A p  B _
   

A p  B

_  ²  

2 _{ }

2 2 2

p  a p  b



_ p 



_{a } ²  



  


2
_  



_ p 



_{a } ²  



  


2
_  

   
a

p 

 A ² 

^ B 

Aa _ 1

₂   ₂



_ p 



_{a } ²   ^


  


2


 

 

2 <sub> 

</sub> p 



_{a } ²  


  


2


 

 

Agar birinchi qo‟shiluvchini M, ikkinchisini N bilan ifodalasak , u holda:

M  A e

a

• 
  t
  

² co s t
, N 

^ B 

A a _ 1



a

• 
  t
  

e ² s in t


 ² 

Shunday qilib:

 _Aa 



2


^{a  2} b  ^


A p  B ^{ t} a


e A c o s t b   s in t
_ 2

p ²  a p  b ^





4 _a <sup>2 

b </sup> 

4 _

Misollar. 1)

y ^  4 y

 s in 3 x

tenglamaning

y ( 0 )  0 ,

y ^( 0 )  0

boshlang‟ich

shartni qanoatlantruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Yordamchi tenglamani tuzamiz:

y ( p )( p ²
 4 ) 

3 _;

p ²  9
y ( p ) 
( p ²

3

 9 )( p ²

 4 )

yoki

3 3



y ( p ) 

5 <sub>

5  </sub> 1 3 _ 3 2

p ²  9

p ²  4 ⁵ p ²  9 ^{1 0} p ²  4

bundan tenglamaning yechimini topamiz:

y ( t ) 

3 1

s in 2 t 

1 0 5

s in 3t

2) y ^ 
y  0

tenglamaning
y ( 0 )  1,

y ^( 0 )  3 ,

y ^( 0 )  6

boshlang‟ich shartlarni

qanoatlantruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Yordamchi tenglama:



p ²  3 p  8



p ²  3 p  8

y ( p )( p ³  1)  p ²  1  p  3  8 ; yoki

y ( p )  

p ³  1 ( p  1)( p ² 

p  1)

2  p  6 1

1

2

2
^{p } ₂ 1 1 ₂

y ( p )    2

  .

p  1

p ² 

p  1

p  1

²   <sup>3

2</sup>  

 ¹   ¹ 

_ p  _  <sub> 

</sub> p  _  _{ }

 ²  _{ }

 ² 

 ² 