1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

Misollar: 1)

y ^( t ) 
y ( t )  1

tenglamaning y(0)=0 boshlang‟ich shartni

1


p ^{1 1}

qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. y ( p )   

jadvaldan

p  1
y ( t )  1  e ^{ t} tenglamani yechimi ekanini topamiz.

p p  1

2) y ^( t )  9 t  1

b o s h la n g 'ic h s h a rt

y ( 0 ) 

y ^( 0 )  0

bo‟lsa

y ( p )( p ²  9 )  ¹ ;

1

y ( p ) 

1 1 1 1

  

^p p ( p ²  9 ) ⁹ p ²  9 ^{9 p}

y ( t )  

1 1

co s 3 t  ^{te n g la m a n i ye c h im i b o 'la d i} .

9 9

1
3) y ^( t )  3 y ^( t )  2 y ( t )  t

boshlang‟ich shartli

y ( 0 ) 

y ^( 0 )  0

y ( p )( p ²
 3 p  2 ) 

; y ( p )  ¹

1 1 3 1 1 1

   

y ( t ) 

¹ t  ³  e ^{ t} 

_p 2

¹ _e  2 t _.

p ² ( p  1)( p  2 )

² p ²

4 p p  1 4 ( p  2 )

2 4 4

4) ^{y   2 y   5 y}

 s in t

boshlang‟ich shart

y ( 0 )  1,

y ^( 0 )  2

y ( p )( p ²

 2 p  5 ) 

p * 1  2  2 * 1 

1

p ²  1

yoki

p  4 

¹ 1 1 1 1

p ²  1


p ³  4 p ² 

p  5

p  4

1 0

• 
  p 
  

1 0 5

y ( p )    

yoki

p ²  2 p  5 ( p ²  2 p  5 )( p ²  1) p ²  2 p  5

p ²  1

1 1 p  1 2 9 2 1 p 1 1

y ( p )    

^{1 0} ( p  1) ²  4 ^{2 0} ( p  1) ²  4 ^{1 0} p ²  1

⁵ p ²  1

jadvaldan
y ( t ) 

^{1 1} e ^{ t} co s 2 t  ^{2 9} e ^{ t} s in 2 t  ¹ co s t  ¹ s in t .

1 0 2 0 1 0 5

2. § Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion metod bilan yechish.

O‟zgarmas koeffitsientli chiziqli birinchi tartibli ikkita differensial

tenglamalar sistemasini Laplas almashtirishi yordamida yechilishini ko‟ramiz:
x ( t )

va y ( t )

noma‟lum funksiyalar

dx

• 
  a x ( t )  a y ( t ) 
  



f ( t )


1 1 1 2 1

dt



(2.2.1)

dy

• 
  a x ( t )  a y ( t )  f
  

( t ) ^

_
2 1 2 2 2

dt

x ( 0 ) 

^x 0 ,

y ( 0 )  y ₀

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi hususiy yechimni

topish kerak.

Izlanayotgan funksiyalar x(t) va

y ( t ) , tenglamalarni o‟ng tomonidagi

f₁ (t )

va f ₂

(t )

funksiyalar originallar bo‟lsin. Ularning tasvirlarni mos ravishda

quyidagicha belgilaylik:

u holda:

x ( t ) 

f ( t ) 





x ( p ) ,

F₁ ( p )

y ( t ) 

f ₂ ( t ) 

y ( p )

F ₂ ( p )

x ^( t ) 



p x ( p ) 

x ₀ ;

y ^( t ) 



p y ( p )  y ₀

Tasvirni chiziqli xossasiga asosan:

px ( p )  x ₀  a_{1 1} x ( p )  a_{1 2} y ( p ) 

 

F₁ (t ) _



(2.2.2)

py ( p )  y ₀  a _{2 1} x ( p )  a _{2 2} y ( p ) 

F₂ (t ) _

(2.2.2) sistema (2.2.1) sistemaga nisbatan yordamchi sistema deyiladi, uni yechib

x ( p ) va



y ( p )

tasvirlarni topamiz; bu tasvirning originallari esa berilgan

sistemaning yechimlari

Misol. 1)

x ( t ) va

y ( t )

bo‟ladi.

dx

• 
  x 
  

dt

y  t ^





dy

 4 x  3 y

dt

 2 t ^

_

sistemaning

x ( 0 )  x ₀

 0 ,

y ( 0 ) 

y ₀  0

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi

yechimi topilsin.

Yechish.

bo‟ladi:

1 2

t  , 2 t 

_p 2 _p 2

bo‟lgani uchun yordamchi sistema quyidagicha

p x ( p ) 
x ( p ) 

1

y ( p ) 

_p 2







2
^ yoki
x ( p ) ( p  1) 

1 _


y ( p ) 

_p 2 _


2


p y ( p )  4 x ( p )  3 y ( p )  ^

4 x ( p ) 

y ( p ) ( p  3 )  ^

Bu sistemani yechamiz yoki

x ( p ) 

_p 2 _
p  5

,

p ² ( p  1) ²

y ( p ) 

2 ( p  3 )

p ² ( p  1) ²

_p 2 _

9 5 9 4 _{ t  t}

x ( p )        9  5 t  9 e  4 te 
x ( t )

^{p p p  1} ( p  1) ²

1 4 6 1 4 8



y ( p )    
 1 4  6 t  1 4 e ^{ t}  8 te ^{ t} 
y ( t )

^p p ^{2 p  1} ( p  1) ²
Demak berilgan sistemani yechimi:

x   9  5 t  9 e ^{ t}

2)

 4 te ^{ t}

 4 te ^{ t} ,

y  1 4  6 t  1 4 e ^{ t}

• 
  8 te ^{ t}
  

d x d y _

3  2 x   1

d t d t ^



d x d y

 4

• 
  3 y
  

 0 ^

d t d t ^

Sistemani topamiz.

x ( 0 )  0 ,
y ( 0 )  0

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantruvchi yechimini

Yechish. Yordamchi sistema
( 3 p  2 ) x ( p ) 
1 _



p y ( p )  _

p _


p x ( p )  ( 4 p  3 ) y ( p )  0 ^

Bu sistemani yechamiz

x ( p ) va



y ( p )

larni topamiz.

4 p  3 1 1 3 3

x ( p )    

p ( p  1)(1 1 p  6 ) 2 p 5 ( p  1) 1 0 (1 1 p  6 )


1 1 1 1 1

y ( p )   (

(1 1 p  6 )( p  1) 5

 )

p  1 1 1 p  6

topilgan tasvirga asosan noma‟lum funksiyalar

x ( t ) va
y ( t )

ni topamiz:

1 1

x ( t )  
_e  t _

6

₃  t

_e 11

2 5 1 0

6

y ( t ) 

¹ _{( e}  t

5

• 
  t
  

 e ¹¹ )

Yuqori tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi ham shunga o‟xshash yechiladi.

3.