1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

§ Mehanik tebranishlarni differensial tenglamasi va uni yechish.

1. 
   ^{Mehanika kursidan ma‟lumki, massasi} m ^{ga teng bo‟lgan moddiy nuqtani} tebranish tenglamasi quyidagicha yoziladi:
   

d ² x  d x k 1

dt ²

  x 

m d t m 

f₁ ( t )

(2.3.1)

^Bunda x ^{nuqtani biror holatdan siljishi,} k ^{elastiklik, jismning qattiqligi harakatga}

bo‟lgan qarshlik tezlikka proporsional bo‟lib,  proporsionallik koeffitsenti, tashqi kuch.

f _ t _ -

2. 
   (2.3.1) tenglama yordami bilan elastik holda joylashgan maxovikning
   

^{aylanish tebranishini ham ifodalash mumkin. U holda} x ^{maxovikning aylanish} burchagi, m maxovikning inersiya momenti, k valning aylanish mustahkamligi f₁ ( t ) - tashqi kuchlarning qo‟yilish o‟qiga nisbatan momentik ifoda qiladi.

2. 
   Shuningdek (2.3.1) tenglama elektron zanjirdagi harakatni ham ifodalaydi. Masalan: L induktivdan iborat elektr zanjirga ega bo‟laylik. Undagi qarshilik R , sig‟im C , qo‟yilgan elektr yurituvchi kuch (E.Yu.K)- E bo‟lsin.
   

Zanjirdagi tokni i , kondensator zaryadini ^Q bilan belgilaymiz.

Elektrotexnikadan ma‟lumki i va ^Q quyidagicha tenglamani qanoatlantiradi:

d i Q

I  R_i   E

(2.3.2)

d t C

(2.3.3)– tenglamadan:

dQ

 i

dt


d ² Q d i

(2.3.3)

dt ²

 (2.3.3‟)

dt

(2.3.3) va (2.3.3‟) tenglamalarni (2.3.2) ga qo‟ysak (2.3.1) tipdagi tenglama kelib chiqadi:

d ² Q d Q 1

I

dt ²

• 
  R  Q  E d t C
  

(2.3.4)

Agar (2.3.2) tenglamaning ikkala qismini differensiallab, (2.3.3) tenglamani hisobga olsak, u holda tokni topish uchun quyidagi tenglamani olamiz:

d ² i d Q 1 d E

I  R  i  (2.3.5)

dt ²

d t C d t

(2.3.5) tenglama ham (2.3.1) tipdagi tenglamadir.

2. 
   Tebranish tenglamasini quyidagicha umumiy ko‟rinishda yozamiz
   

d ² x d x

dt ²

• 
  a₁
  
  • 
    a ₂ x 
    

dt

f ( x ) . (2.3.6)

^{Bu tenglamani noma‟lum funksiya} x <sup>, koeffitsentlar

a</sup>₁ ^{, a} ₂ va

f _ t _ - larni fizik

ma‟nolarini (2.3.1), (2.3.4), (2.3.5) tenglama bilan solishtrib aniqlash qiyin emas.

Endi (2.3.1) tenglamaning

t  0

bo‟lganda

x  x ₀ ,

x ^ 

x ₀^

bo‟lgan boshlang‟ich

shartni qanoatlantruvchi yechimini topamiz.

Yordamchi tenglamani tuzamiz:

x ( p )( p ²

 a p  a )  x p  x ^  a x

 F ( p )

bunda:

1 2 0 0 1 0

x ₀ p  x ₀^  a₁ x ₀

F ( p )

x ( p )  

(2.3.7)

p ²  a p  a p ²  a p  a

1 2 1 2

(2.3.4)- tenglamaning

Q  Q ₀ ,

Q ^  Q ₀^

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantruvchi

yechimi

Q _ t _

ning tasviri quyidagicha bo‟ladi:

i ( Q P  Q ₀^ )  R Q ₀


E ( p )

Q ( p )  

IP ²

1

 R P 

S p ²

1

 R p 

2
C C

1. 
   tenglama yechimining xarakteri
   

p  a₁ p  a ₂

uchxad ildizining kompleks,

yoki haqiqiy har xil, yoki haqiqiy o‟zaro teng bo‟lishiga bog‟lqdir.

Uchxad ildizlari kompleks son ya‟ni

2

^{ a1 }  a  0

bo‟lgan holda ko‟rib

 ₂  ²

 

chiqamiz: ratsional kasrni originalini topish formulaga asosan:
 _{x a} 

x p  x ^

• 
  a x
  

_ ^a1 _t ^

x ₀^ 

0 1 _

0 0 1 0 _{ e 2}

^ x c o s t

• 
  ² s in t ^
  

1 2
p ²  a p  a ^ 0 ^

 

 

Endi

F ( p )


2
p  a₁ p  a ₂

tasvirni originalini topish uchun ko‟paytrish teoremasidan

foydalanamiz:
1

• 
  ^a1 t
  

_e 2

p ²  a p  a

 s in t

2

, F ( p ) 

f ( t )

1 2


bo‟lgani uchun:

a₁

a ₂ 

4

F ( p ) 1 ^t

 ^a1 ( t  )

p ²  a p  a

 _

2

f ( ) e ²

s in ( t   ) d 

(2.3.8)



2
1 2 _a ^a₁ ⁰

4

(2.3.7) va (2.3.8) ni qo‟shib (2.3.6) tenglamaning yechimini topamiz

 _{x a} 

_ ^a1 _t ^

x ₀^ 

0 1 _

x ( t )  e <sup>2

</sup> c o s t


x
_ 0

• 
  ² s in t ^ 
  



 

 
₁ ^{t  a1}  ^{t  } 

 _

2

f ( ) e ²

• 
  s in ( t   ) d 
  

(2.3.9)

_a1 0

a ₂ 

4

2
p  a₁ p  a ₂ uchxad ildizlari haqiqiy har xil yoki o‟zaro teng bo‟lganda ham

yechimlari shu yo‟l bilan topiladi.

3. 
   Agar
   

d ² x d x

• 
  a₁
  

• 
  a ₂ x 
  

f ( x )

(2.3.10)

dt ^{2 dt}

tenglamada
f ( t )  0

deb olsak bu tenglama erkin tebranishni ifodalaydi.

Qulaylik uchun

a  2 n , a

 k ² , k ²

 k ²

• 
  n ²
  

deb olamiz, u holda (2.3.10)

1 2 1
tenglama quyidagicha yoziladi:
d ² x d x

• 
  2 n
  

• 
  k ² x 
  

f ( x )

(2.3.11)

dt ^{2 dt}

Bu tenglamani

t  0

bo‟lganda

x  x ₀ ,

x ^ 

x ₀^

boshlang‟ich shartlarni

^{qanoatlantruvchi} x ^{yechimi (2.3.7) formulaga asosan}

• 
  nt ^
  

x ( t )  e x
co s k t 

x ₀^

• 
  x ₀ n ^
  

s in k t

(2.3.12)

 0



ko‟rinishda bo‟ladi.

1 

^k1 

Agar x  a

x ₀^ 

x ₀ n
^{deb belgilasak, u holda ,,} a ^{” va ,,}b ^{” ning har qanday}

0 1,

k₁

qiymatida shunday M va  sonlar topish mumkinki, unda
a  M

sin  ,

b  M
co s 

va ^{M 2}

 a ²

• 
  ^{b 2} , tg   ^a
  

b

bo‟ladi.

Bularga asosan (2.3.12) tenglikni quyidagicha yozamiz:

x  e ^{ nt} _ M

co s k₁ t s in 

• 
  M s in k₁ co s  _
  

1
x  e ^{ nt} s in ( k t   ) (2.3.13)
Bu (2.3.13) yechimni so‟nuvchi tebranishga mos yechimidir (rasm 6).

Agar ichki ishqalanishlar bo‟lmasa, u holda yechimning ko‟rinishi

quyidagicha bo‟ladi

( 2 n  a₁

^{ 0 )} :

1
x  e ^{ nt} s in ( k t   )

Bu hol garmonik tebranishlarga mos keluvchi yechimni ifoda qiladi (rasm 7)

Bunda T- tebranish davriy

2 

(T  ) ,

k₁

K ₁ - tebranish chastotasi, ya‟ni 2 vaqt

ichida tebranishlar soni, faza.

- tebranishlar amplitudasi,  - boshlang‟ich

4. 
   Tashqi kuchlar davriy bo‟lganda mehanik va elektrik tebranishlarni tekshirish. Mehanik sistemalarning tebranishini va ayniqsa elektrik tebranishlarni tekshirishda
   

f _ t _ - tashqi kuchlarning har xil ko‟rinishlari uchraydi. Tashqi kuchlar davriy
bo‟lgan holni ko‟rib chiqamiz. Bu holda tebranish tenglamasi quyidagi ko‟rinishga ega bo‟ladi:

d ² x d x

• 
  2 n
  

• 
  k ² x 
  

A s in  t . (2.3.14)

dt ^{2 dt}

Harakat harakterini aniqlash uchun chiqishning o‟zi kifoya.

t  0

bo‟lganda quyidagi holni ko‟rib

bundan
x ( p )  ( p

x ( p ) 

²  2 n p  k ² )  A


A



p ²   ²

(2.3.15)

( p ²

 2 n p  k ² )( p ²

  ² )

2 n  0

va n ²

 k ²

bo‟lsin. (2.3.15) ning o‟ng tomonidagi kasrni elementar

kasrlarga ajratamiz:

A

N p  B C p  D

 

( p ²

 2 n p  k ² )( p ²

  ² )

p ²  2 n p  k ²

p ²   ²

Sonlarni aniqmas koeffisentlar metodi bilan topib, so‟ngra boshlang‟ich funksiyani topamiz:

^ ( k ²   ² ) s in  t  2 n c o s  t  ^

x ( t )

A ^{ }

 

(2.3.16)

2 2 2 2 ^

• 
  nt
  

2 2 2 ^{ }

( k   )  4 n  _  e _ ( 2 n  k   ) s in k₁ t  2 n  c o s K ₁ t <sub> 

</sub>  ^k1  _

bundan

k₁ 

. (2.3.16) bilan ifodalangan

x _ t _

funksiya (2.3.14)

tenglamani yechimidir. Bu hol mehanik sistemalarda ichki qarshilik yo‟qligini ya‟ni amortizator yo‟qligini ko‟rsatadi.

Bu holda (2.3.14) tenglama quyidagicha bo‟ladi:
d ² x

dt ²

• 
  k ² x 
  

A s in  t

(2.3.17)

bu tenglamaning

t  0

bo‟lganda

x ₀ 

x ₀^  0

shartni qanoatlantiruvchi yechimi

(2.3.16) tenglikdan
n  0

deb faraz qilganda kelib chiqadi:

x ( t ) 
( k ²

A

  ² ) ^k

_   s in k t  k s in  t _

(2.3.18)

Bu yerda

x ( t )

^{chastotalari k va} 

bo‟lgan ikkita garmonik tebranishlar:

x_a ( t )   ₂

k

A

  ²

A



s in k t va

k

x_b ( t ) 

s in  t

k ²   ²

larni yig‟indisidan iborat.

k  

bo‟lgandagi tebranish xarakteri

8- rasmda tasvirlangan.

(2.3.15) formulada 2 n  0

bo‟lgan holni ko‟ramiz. Bu hol formuladagi

_e  nt

ko‟paytuvchi bo‟lgan holda t – ning o‟sishi bilan juda tez kamayadi (so‟nuvchi mahsus tebranishni ko‟rsatuvchi had). T – yetarli katta bo‟lganda tebranishning

xarakteri ^{e  nt} ko‟paytuvchisi bo‟lgan had bilan aniqlanadi, ya‟ni:

x ( t ) 
( k ²

A

  ² )  4 n ²  ²

_( k ²

• 
   ² ) s in  t  2 n c o s  t _
  

(2.3.19)

Agar

A ( k ²   ² )

 M c o s  ,

A 2 n

• 
   M
  

s in  ,

( k ²

  ² )  4 n ²  ²

( k ²   ² )  4 n ²  ²

M  ^{A deb belgilasak, u holda (2.3.19) yechimni quyidagicha}

yozish mumkin.
x ( t ) 
^A s in ( t   )

(2.3.20)

Bu formuladan ko‟rinadiki, majburiy tebranishlarning chastotasi k tashqi ^{kuchning chastotasi}  ^{bilan teng bo‟lmaydi.} n ^{– bilan xarakterlanadigan ichki qarshilik kichik bo‟lganda va}  ^{chastota k – chastotaga yaqin bo‟lganda} tebranishn amplitudasini istagancha katta qilish mumkin, chunki bu holda maxraj istalgancha kichik.

n  0 ,

 ²  k ²

bo‟lganda esa tenglamaning yechimi (2.3.7) formula bilan

ifodalanmaydi.

5. 
   Rezonans bo‟lgan holda tebranish tenglamasini yechish.
   

a₁ 

2 n  0

ya‟ni

qarshilik yo‟q bo‟lgan va K   ya‟ni tashqi kuch chastotasi bilan majburiy

tebranish chastotasi teng bo‟lgan hususiy holni ko‟ramiz. Bu holda tenglama quyidagicha bo‟ladi:

d ² x

dt ²

• 
  k ² x 
  

A s in k t

(2.3.21)

Bu tenglamaning

t  0

bo‟lganda

x ₀ 

x ₀^  0

boshlang‟ich shartni

qanoatlantruvchi yechimini izlaymiz: Yordamchi tenglama

ko‟rinishga ega bundan:

x ( p )( p ²
 k ² )  A

K


p ²  k ²

x ( t ) 
( p ²

Ak

 k ² ) ²

jadvalga asoslanib original funksiya topamiz:

x _ t _

ni ya‟ni (2.3.21) tenglamaning yechimini

x ₂ (t )  

A 1

( s in kt  t co s kt )

(2.3.22)

2 k k

Bu yechimni ikkinchi qo‟shiluvchisi

A

x ₂ (t )  

2 k
t co s kt

(2.3.23)

t ^{- cheksiz ortganda chegaralanmagan miqdor bo‟lib, (2.3.23) formula bilan} ifodalangan tebranish amplitudasi ham cheksiz ortib boradi. Demak (2.3.22) tenglama bilan ifodalangan tebranishning amplitudasi ham cheksiz ortadi.

Majburiy tebranish chastotasi bilan tashqi kuch chastotasi bir xil bo‟lganda sodir bo‟ladigan bu hol rezonans deb yuritiladi.

4.