1. Hosila haqida tushuncha. Hosilaning geometrik va fizik ma‘nolari

5-Ma’ruza. Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiyalar hosilasini hisoblash.Teskari funksiya hosilasi


Reja:
1. Hosila haqida tushuncha.

2. 
   Hosilaning geometrik va fizik ma‘nolari.
   
3. 
   Elementar funksiyalarning hosilalarining jadvali
   
4. 
   Differesiallash qoidalari
   
5. 
   Murakkab funksiyaning hosilasi.
   
6. 
   Teskari funksiya hosilasi.
   
7. 
   Oshkormas funksiyaning hosilasi.
   
8. 
   Parametli funksiyaning hosilasi.
   

Tayanch so‘z va iboralar: hosila, birinchi tartibli hosila, bir tomonlama hosila, differentsiallanuvchi funksiya, yig‘indining hosilasi , ko‘paytmaning hosilasi, bo‘linmaning hosila, murakkab funktsiya hosilasi, , logarifm differentsiallash, yuqori tartibli hosilalar, teskari funktsiya hosilasi.
1. Hosila haqida tushuncha

Amaliyotda, jumladan,texnikada va iqtisodiyotda muhum ahamiyatga ega bo’lgan hosila va differensial tushunchalarini kiritamiz.

Buning uchun funksiya nuqta va uning biror bir atrofida aniqlangan bir o’zgaruvchili funksiyani qaraymiz.
1-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi orttirmasining argument orttirmasi – ga nisbati nolga intilgandagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, u holda bu limitga funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi.
funksiyaning nuqtadagi hosilasi: ifodalarning biri orqali yoziladi.
Ta’rifga ko’ra,
. (1)
Ushbu
,
limitlarga, mos ravishda, funksiyaning nuqtada chap va o’ng hosilalari deyiladi. Bu hosilalarni mos ravishda ko’rinishda belgilash mumkin.
Ta’rifga asosan hosila olishning umumiy qoidasini keltiramiz:

1. 
   Funksiya orttirmasini topamiz.
   
2. 
   nisbatni hisoblaymiz.
   
3. 
   limitni topamiz.
   

1-misol. funksiya hosilasini ta’rifga asosan hisoblaymiz:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   

2-misol. funksiya hosilasini ta’rifga asosan hisoblaymiz:


Bu yerda bo’lgani uchun
Berilgan funksiyaning hosilasini topish amali ko’p hollarda funksiyani differensiallash deb yuritiladi.
2-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi orttirmasini
(2)
ko’rinishda tasvirlash mumkin bo’lsa (bu yerda o’zgarmas), u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Agar funksiya sohaning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya sohada differensiallanuvchi deyiladi.
va miqdorlar cheksiz kichik miqdorlar bo’lgani uchun ko’p hollarda ni ni esa ko’rinishda yozib olib (2) formulani

ko’rinishga keltirib olamiz.
Masalan, funksiya ning ixtiyoriy qiymatida differensiallanuvchi, chunki

1-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiya shu nuqtada uzluksizdir.
funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning shu nuqtada differensiallanuvchi funksiya bo’lishi uchun zaruriy shart hisoblanadi, ammo yetarli shart bo’la olmaydi.