1. Juft, toq, chegaralangan, davriy, monoton funksiyalar, elementar va asosiy elementar funksiyalar

13.Funksiyaning o'sish kamayish shartlari va funksiyaning ekstremumi.
Funksiyaning ortish va kamayish shartlari va funksiya ekstremumlari:
- Agar funktsiyaning hosilasi musbat bo'lsa, ortib boradi, agar hosilasi manfiy bo'lsa, u kamayadi.
- Ekstrema (maksimal yoki minimal nuqtalar) hosilaviy o'zgarishlar ijobiydan salbiyga yoki aksincha belgisi bo'lgan joyda paydo bo'ladi.
Funksiyaning o'sishi va kamayishi ushbu funksiyaning qiymatining o'zgaruvchanligiga bog'liqdir. Funksiyaning o'sishi uchun shartlar funksiyaning aniq ko'rinishi va uning o'zgarishlariga bog'liqdir. Misol uchun, funksiya y = x^2 uchun, x ning qiymati o'sganda, funksiya qiymati ham o'sadi.
Funksiyaning kamayishi ham shuncha o'zgaruvchiga bog'liqdir. Misol uchun, funksiya y = 1/x uchun, x qiymati kichiklash ganidan o'ng darajada, funksiya qiymati yanada kattalashadi.
Funksiyaning ekstremumlari, ya'ni eng katta yoki eng kichik qiymatlari, funksiyani o'zgarmas yoki kichikradigan nuqtalardir. Tekis funksiyalarda ekstremumlar ko'p emas, shuning uchun funksiyaning differensial qismi yordamida ushbu nuqtalar aniqlanadi.
14.Funksiyani kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari.
Bo‘limdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari:
- Berilgan oraliqdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun funksiyani intervalning oxirgi nuqtalarida va interval ichidagi istalgan kritik nuqtalarda baholash kerak.
- Eng katta va eng kichik qiymatlar bu baholashlardan olingan maksimal va minimal qiymatlardir
Funksiyani kesmadagi eng katta qiymati, funksiyaning maksimum qiymati deb ataladi va funksiyaning qiymati kesmani bo'ylab barcha qiymatlardan katta bo'lgan qiymatni bildiradi.
Funksiyani kesmadagi eng kichik qiymati, funksiyaning minimum qiymati deb ataladi va funksiyaning qiymati kesmani bo'ylab barcha qiymatlardan kichik bo'lgan qiymatni bildiradi.
15.Funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini hosila yordamida topish.
Hosil yordamida funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik va burilish nuqtalari oraliqlarini topish:
- Ikkinchi hosilaviy test qavariqlik va botiqlik oraliqlarini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
- Agar ikkinchi hosila musbat bo'lsa, funktsiya shu oraliqda yuqoriga botiq (qavariq), manfiy bo'lsa, funktsiya pastga botiq bo'ladi.
- burilish nuqtalari konkavlik o'zgargan joyda, ya'ni ikkinchi hosila nolga teng yoki aniqlanmagan joyda paydo bo'ladi.
Funksiya grafikining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini topish uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:
1. Qavariqlik: Funksiyani tanlangan nuqtadagi tangent chizmasining nechta nuqtaga yaqin yoki uzoq bo'lishini hisoblash orqali topish mumkin. Tanlangan nuqta (x, f(x)) dan o'ttinchi darajali selishtalarni (f''(x)) hisoblash orqali tanlangan nuqtada qat'lami (concavity) aniqlanadi.
2. Botiqlik: Funksiyani ikkinchi darajali selishtalar orqali hisoblash orqali botishnuqtalar topiladi. Funksiyaning botishi, yani f'(x) = 0 deb berib, f'(x) ning 0 bo'lgan nuqtalarini topish orqali aniqlanadi.
3. Egilish nuqtalari: Funksiyaning egilishi, ya'ni f'(x) ning qiymati x nuqtasida topiladi. Funksiyani f'(x) formulasi orqali hisoblash orqali egilish nuqtalari aniqlanadi.
Bunday formulalar yordamida funksiya grafikining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini topish mumkin. Bu formulalar grafikning shakl va xarakteristikalarini aniqlashda yordam beradi.