1. Kompleks sonlar tushunchasi Kompleks sonning trigonometrik shakli, moduli va argumenti

Ta’rif: Ikkita kompleks sonning haqiqiy qismlari teng va mavhum qismlarining koeffisiyentlari ham teng bo’lsa, bu sonlar o’zaro teng deyiladi, ya’ni a=s va v=d bo’lsa, quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
a+bi=s+di
Ikkita kompleks sonlar orasida «katta» yoki «kichik» munosabatlarni aniqlab bo’lmaydi.
Kompleks sonlar uchun quyidagi qoidalar o’rinli:
1. a+bi=s+di. (agar a=b, s=d bo’lsa).
2. (a bi)+(s di)= (a s)+(b d)I (kompleks sonlarni qo’shish va ayirish).
3. (a+bi) (s+di)= (as-bd)+(ad+bs)i (kompleks sonlarni ko’paytirish).
4. (a+bi) (a-bi)= a² +b² (o’zaro qo’shma kompleks sonlar ko’paytmasi).
5. a+0i=a (haqiqiy son bilan mavhum qism koeffisiyenti 0 bo’lgan kompleks son).
6. 0+0i=0 (har qanday kompleks sonning 0 bilan ko’paytmasi).

2§. Komplek sonlarni qo’shish va ayirish
Ta’rif: a+bi va s+di ikkita komplek sonlar yig’indisi deb (a+s)+(b+d)i songa aytiladi, ya’ni:
(a+bi)+ (s+di)= (a+s)+ (b+d)i
Misollar.
1) (6+5i)+ (4+3i)= (6+4)+ (5+3)i=10+8i;
2) (9-11i)+ (4+3i)= (9+4)+ (-11+3)i =13-8i;
3) (0-6i)+ (8-5i)= (0+8)+ (-6-5)i=8-11i.

Ta’rif: z₁=a+bi va z_2­=s+di kompleks sonlarning ayirmasi deb shunday z_3­=x+yi kompleks songa aytiladiki, bu sonning z_2­ bilan yig’indisi z_1­ dan iborat bo’ladi, ya’ni:
z₁- z₂= z_3­ dan z₂+ z₃= z₁
Yoki (a+bi)-(s+di)=x+yi dan (s+di)+(x+yi)=(s+x)+(d+y)i
U holda, (s+x)+(d+y)i=a+bi bo’ladi. Bu hol faqatgina s+x=a va d+y=b bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.
Misollar.

1. 
   (2+3i)-(1+2i)=(2-1)+(3-2)i=1+i.
   
2. 
   (7+i)-(5+2i)=(7-5)+(1-2)i=2-i.
   
3. 
   (3+4i)-(5+4i)=(3-5)+(4-4)i=-2+0i.
   
4. 
   (5+8i)-(5+3i)=(5-5)+(8-3)i=0+5i.
   

2. Kompleks sonlarni ko’paytirish va bo’lish
Ikkita a+bi va s+di kompleks sonlarni ko’paytirish 1§ dagi 3-qoida asosida bajariladi, ya’ni birinchi va ikkinchi ko’paytuvchi kompleks sonlar hadma-had ko’paytiriladi:

Bundan i ²=-1 bo’lganligi sababli, .
Demak,
Ta’rif: va kompleks sonlarning ko’paytmasi deb

kompleks songa aytiladi.
Har qanday ko’rinishdagi kompleks sonning nol 0+0i=0 conga ko’paytmasi noldan iborat bo’ladi, ya’ni

Har qanday kompleks sonning n=n+0i haqiqiy songa ko’paytmasi quyidagidan iborat:


Misollar.
a)
b)
Ikkita z₁=a+bi va z₂=s+di kompleks sonlarni bo’lishda z₃=x+yi kompleks son hosil bo’ladi, ya’ni
(1)
buni kabi yozish ham mumkin.
Ta’rif: kompleks sonning kompleks songa bo’linmasi deb, shunday ga aytiladiki, bu sonni ga ko’paytirganda hosil bo’ladi.
Kasrlarning xossasiga asosan nisbat shart bajarilgan taqdirda o’rinli bo’ladi.
Agar bo’lsa
(2)
Kompleks sonlarni ko’paytirish qoidasiga asosan

U holda, (2) ni quyidagicha yozish mumkin:
(3)
(3) tenglik (4)
bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.
(4) dan x va y larni topamiz:
(5)
U holda, (6)
tenglik hosil bo’ladi.
1-misol. nisbatni toping.
Yechilishi: deb belgilaymiz. U holda,

Bundan,

Sistemani yechib, va ni topamiz.
U holda,

Kompleks sonning trigonometrik shakli, moduli va argumenti
a+bi kompleks songa koordinatalari (a,b) bo’lgan vektor mos kelsin. vektor uzunligini r, uning x o’qi bilan hosil qiladigan burchagini bilan belgilaymiz. U holda, chizmadan quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:
, (1)
(1)dan,
(2)

U holda, kompleks sonni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi:

(3)
Chizmadan (4)
Shuning uchun ixtiyoriy a+bi kompleks sonni
(5)
ko’rinishda ifodalash mumkin. Bunda va burchak qo’yidagi shartlarda topiladi:
(6)
(5) tenglamadan r soni a+bi kompleks sonning moduli, burchak esa kompleks sonning argumenti deb ataladi.
Agar bo’lsa, uning moduli musbat, bo’lsa, va bo’ladi.
Agar bo’lsa, uning argumenti (6) formulalar yordamida ga karrali bo’lgan burchakgacha aniqlikda topiladi. bo’lgan holda va bo’ladi.
Har qanday kompleks sonning modulini , argumentini esa kabi belgilash ham mumkin.