1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Lagranj usuli.
Bu usulni ushbu tartibda bajariladi:
a) Avval (2) ko’rinishdagi, ya’ni (1) tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamani yechamiz. (2) tenglama (3) ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lib, u

ko’rinishdagi umumiy yechimga ega;
b) (1) tenglamaning yechimini
(11)
ko’rinishda qidiramiz. (11) ifodani (1) tenglamaga qo’yib, funksiyaga nisbatan o’zgaruvchilari ajraladigan
(12)
differentsial tenglamaga kelamiz. Undan funksiyani topib, so’ng (3) ifodaga qo’yib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
(13)
Izoh 1. (1) tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda qidirilishi ham mumkin. Bunday usul o’rniga qo’yish yoki Bernulli usuli deyiladi.
Izoh 2. Berilgan tenglama funksiyaga nisbatan emas, balki, funktsiyaga nisbatan chiziqli bo’lishi ham mumkin.
Misol 1. Tenglamani yeching:
(14)
Yechish. (14) tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini o’zgaruvchilarini ajratish usuli bilan topamiz: .
Berilgan tenglamaning umumiy yechimini
(15)
ko’rinishda olib ifodani (14) tenglamaga qo’yamiz:
, ya’ni .
Oxirgi tenglamadan topilgan funksiyani (15) ifodaga qo’yib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Misol 2. Tenglamani yeching: .
Yechish. Ko’rinib turibdiki, o’zgaruvchi o’zgaruvchining funksiyasi bo’lganda bu tenglama chiziqli emas. Shuning uchun tenglamani differensiallarda yozib olamiz.

ni erkli o’zgaruvchi va ni qidirilayotgan funksiya deb qarab,

ko’rinishdagi ga nisbatan chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi tenglamaning umumiy yechimini o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan topamiz
.
Misol 3. Tenglamani yeching:
Yechish. Berilgan tenglamani Bernulli usulida yechamiz. Tenglamada almashtirish kiritib tenglamani hosil qilamiz. Bundan ifodani yozib ko’rinishdagi o’zguruvchilari ajraladigan ikkita tenglamaga ega bo’lamiz. Oldin birinchi, so’ng ikkinchi tenglamani yechib va funktsiyalarni topamiz. Ularni ifodaga qo’yib umumiy yechimni ko’rinishini olamiz.