1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.

1. 
   Quyidagicha aniqlangan s₀(t)
   

s₀(t) =
funksiyaga birlik funksiya yoki Xevisayda funksiyasi deyiladi.
Bu funksiyaning grafigi quyidagicha

s₀(t)

1
0 t

Xevisayda funksiyasining tasviri (1) ga ko’ra quyidagicha aniqlanadi:

F(t)= e^-ptf(t)dt = e^-pts₀(t)dt= e^-pt×1×dt=-e^-pt =-0+ = .
Shunday qilib s₀(t) ¬¸- 1/p yoki 1 ¬¸- 1/p (2)
2. f(t)=sint funksiya tasviri ham (1) ga ko’ra aniqlanadi:
Shunday qilib sint ¬¸- (3)
3. f(t)=cost funksiya tasvirini topamiz:

Demak cost funksiyani tasviri yoki cost ¬¸- (4)
3. Laplas tasvirining ba’zi xossalari.

1. 
   Chiziqlilik xossasi. Agar F_k(t) -¸® f_k(t) (k=1,2,3,...,n) bo’lib, s_k lar o’zgarmaslar bo’lsa , u holda c_kF_k(t) -¸® c_kf_k(t) munosabat o’rinli bo’ladi.
   

2. O’xshashlik teoremasi. Agar a>0 va F(t) -¸®f(t) bo’lsa , u holda F( ) -¸® f(at) bo’ladi.
3. Originalning kechikish teoremasi. Agar l>0 bo’lsa, u holda F(t) -¸® f(t) dan f(t-l) -¸® e^-ltF(t) kelib chiqadi.
4. Tasvirning sinish teoremasi. Agar F(t) -¸® f(t) bo’lsa, u holda istalgan l uchun e^-ltf(t) -¸® F(t+l) kelib chiqadi.
5. Originalni differensiallash. Agar f(t) funksiya [0,¥] da uzluksiz, differensiallanuvchi va f ¢(t) hosila tasvir mavjudligining 1,2,3 shartlarini qanoatlantirib, F(t) -¸® f(t) bo’lsa, quyidagilar o’rinli bo’ladi.
a) pF(p)-f(0) -¸® f ¢(t) Xususiy holda f(0)=0 bo’lsa pF(p) -¸® f ¢(t) bo’ladi.

2. 
   Agar fⁿ(t) mavjud bo’lsa va tasvir mavjudligining shartlarini qanoatlantirsa
   

f⁽ⁿ⁾(t) -¸® tⁿF(t)-[ t^n-1f(0)+ t^n-2f¢(0)+ t^n-3f¢¢(0) +...+ tf^(n-2)(0)+f^(n-1)(0) ],
agar f(0)=f ¢(0)=...=f^(n-1)(0)=0 bo’lsa, f⁽ⁿ⁾(t) -¸®tⁿF(t) bo’ladi.
6. Originalni integrallash. Agar F(p) -¸® f (t) bo’lsa,
f(t)dt ning tasviri f(t)dt -¸® bo’ladi.
7. Tasvirni integrallash. Agar F(p) -¸® f (t) bo’lsa, F(t)dt -¸® bo’ladi.
8. Tasvirni differensiallash. Agar F(p) -¸® f (t) bo’lsa , u holda

1. 
   F¢(p) -¸® -tf(t) ; b) F⁽ⁿ⁾(p) -¸® (-1)ⁿtⁿf(t) bo’ladi.
   

Misol. f(t)=sinat funksiya tasvirini topamiz: F(p)= sinat×e^-ptdt=1/a×1/[(p/a)²+1] =a/(p²+a²) Demak sinat¬¸-a/(p²+a²) (5)
Shunga o’hshash f(t)=cosat funksiyani tasviri quyidagicha bo’ladi: cosat¬¸-p/(p²+a²) (6)
Misol. f(t)=3sin4t-2cos5t funksiya tasviri topilsin.
Yechish: (5) va (6) dan Líf(t)ý=3×4/(p²+16)-2×p/(p²+25)=12/(p²+16)-2p/(p²+25).
Misol. F(t)=5/(t²+4)+20t/(t²+9) tasvir funksiya berilganda boshlangich funksiyani toping.
Yechish: F(t)=5/2×2/(p²+4)+20×p/(p²+9) -¸®5/2×sin2t+20cos3t=f(t)
Demak f(t)=5/2×sin2t+20×cos3t.