1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Demak,umumiy integral ko’rinishda bo’ladi.

II. Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar bo’lgan xol. Kompleks ildizlar juft-juft qo’shma kompleks son bo’lgani uchun ularni

deb belgilaymiz, bunda

xususiy yechimlarni
(1.4)
shaklda yozish mumkin. Bular haqiqiy argumentning kompleks funksiyasi bo’lib, (1.1) differentsial tenglamani qanoatlantiradi.
Agar haqiqiy argumentning biror kompleks
(1.5)
funksiyasi (1.1) tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglamani u(x) va v(x)funksiyalar ham qanoatlantiradi.
Isbot. (1.5) ifodani (1.1)tenglamaga qo’ysak,

yoki

tenglamani hosil qilamiz. Ammo kompleks funksiyaning haqiqiy qismi ham, mavhum qismi ham nolga teng bo’lgan holdagina u nolga teng bo’ladi, ya’ni

SHunday qilib, biz u(x) va v(x) funksiyalar tenglamaning yechimi ekanini isbot etdik.
(1.4) kompleks yechimlarni haqiqiy va mavhum qismlar yig’indisi shaklida qaytadan yozamiz:

Isbot qilinganiga ko’ra

haqiqiy funksiyalar ham (1.1) tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi

bo’lgani uchun funksiyalar chiziqli erklidir. Demak, xarakteristik tenglama kompleks ildizlarga ega bo’lganda (1.1)tenglamaning umumiy yechimi

yoki
(1.7)
ko’rinishda bo’ladi, bunda A va B- ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar.
III. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va teng bo’lgan xol. Bu holda . Yukoridagi muloxazalarga asosan bitta, xususiy yechim topiladi. Birinchi xususiy yechim bilan chiziqli erkli bo’lgan ikkinchi xususiy yechimni topish kerak ( funksiya ga aynan teng bo’lgani uchun uni ikkinchi xususiy yechim sifatida olish mumkin emas).
Ikkinchi xususiy yechimni

ko’rinishda izlaymiz, bunda u(x)-aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiya.
Differentsiallab, quydagilarni topamiz:


hosilalarning bu ifodalarini (1)tenglamaga qo’yib,

tenglamani hosil qilamiz. Lekin xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo’lgani uchun bu holda

bundan tashqari
demak, u(x) ni topish uchun tenglamani yechish kerak . integrallab u=Ax+B ekanini topamiz .
Xususiy holda A=1 va B=0 deb olish mumkin ; bu holda u=x bo’ladi . Shunday qilib ikkinchi xususiy yechim sifatida

funksiyani olish mumkin. , bo’lgani uchun bu yechim bilan birinchi xususiy yechim chiziqli erklidir.
SHuning uchun

funksiya umumiy integral bo’ladi.

2.