1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

umumiy yechimi deyiladi yoki
TA’RIF 4: Agar



munosabatlardan c parametrni yo’qotish mumkin bo’lib, natijada (2)
tenglama hosil bo’lsa, u holda (3) funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
TA’RIF 5: Umumiy (3) yechimdan c parametrni aniq sonli qiymatlari uchun hosil bo’lgan yechimi xususiy yechim deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan 1 va 2 masalalardagi (t_0, x₀), (t₀,R₀) nuqtalardan o’tuvchi yechimlarni yagonaligi muhim ahamiyatga ega, shuning uchun berilgan (t₀ ,x ₀) nuqtadan bitta yechim o’tsa shu nuqtada yagonalik o’rinli deb yuritiladi.
TA’RIF 6: Yagonalik o’rinli bo’lmagan yechim maxsus yechim deyiladi.

MISOL 3: Tenglamani yeching

Bu yerda y0 deb olib yoki
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan yoki umumiy yechimga ega bo’lamiz.
Bundan tashqari y0 ham tenglamaning yechimi, bu maxsus yechim bo’ladi.
y=0 ni , ya’ni OX o’qini ixtiyoriy nuqtasidan

yarim parabolar o’tadi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalardan biri Koshi masalasi deb yuritiladi.
(4)
ko’rinishidagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi.
Koshi masalasi : (1) tenglamaning
y(x₀)=y₀ (5)
shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi yoki boshlang’ich masala deb yuritiladi.
Bunda x₀ va y₀ berilgan sonlar bo’lib f(x,y) funksiya aniqlangan sohaga tegishli bo’ladi. (4) tenglamaning yechimi bo’lgan y=(x) yoki oshkormas ko’rinishda (x,y) funksiyani mos egri chizig’i (grafigi) integral chiziq deb ataladi. Koshi masalasi, geometrik nuqtaiy-nazardan qaraganda barcha integral chiziqlar ichidan berilgan (x₀,y₀) nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni topish masalasidir.
MISOL: 1. Koshi masalasining yechimi mavjudmi?

ko’rish mumkinki bu Koshi masalasini yechimi mavjud emas.
Demak, Koshi masalasi har doim ham yechimiga ega emas, agar yechim mavjud bo’lsa u yagona bo’ladimi? kabi savol berilishi tabiiy. Yechimining yagonaligi differensial tenglamalar olingan jarayonlarda biror qonun mavjud bo’lib boshqa qonun yo’qligini, xarakat yoki jarayon faqat shu qonun orqali amalga oshishini bildiradi.
MISOL: Quyidagi Koshi masalasining yechimiga yaqinlashuvchi yechimning birinchi uchta hadini toping.

Bunda

n=0 da y=0
n=1 da
n=2 da
Demak, .
Bu yechim teorema shartiga ko’ra faqat x=0 nuqtaning biror atrofida mavjud bo’ladi. f(x,y) funksiya butun (x,y) tekislikda aniqlangan va uzluksiz bo’lganligi uchun ixtiyoriy D={(x,y): x₀-axx₀+a, y₀-byy₀+b} sohani, ya’ni a va b ni olish mumkin.
Unda bo’ladi.
Yechim esa intervalda mavjud va yagona bo’ladi.
Hosila ga nisbatan yechilgan differensial tenglamalarda, agar
f(x,y)=f₁(x)d₁(y)
ko’rinishdagi funksiya bo’lsa, u holda tenglama
(6)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda f₁(x) biror J₁ intervalda d₁(y) esa J₂ intervalda aniqlangan funksiyalardir.
(1) ko’rinishdagi differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
TEOREMA: Agar axb, cyd o’zgarganda f₁(x)d₁(y) funksiya uzluksiz, hamda d₁(y)0 bo’lsa, u holda q={(x,y): axb, cyd} to’g’ri to’rtburchak sohani ixtiyoriy (x₀,y₀) nuqtasidan tenglamani bitta va faqat bitta grafigi o’tadi.
ekanligidan foydalanib, (6) tenglamani

ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra integrallab K₁(y)-F₁(x)=C yoki F(x,y)=C ko’rinishdagi umumiy integral topiladi.
MISOL: Tenglamani yeching
bo’lib y0 ydy= - xdx
ko’rinishda o’zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz, u holda yoki ko’rinishdagi umumiy integralga ega bo’lamiz.
O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar ushbu ko’rinishda ham bo’lishi mumkin.
M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (7)
bu ko’rinishdagi tenglamani ham (6) ko’rinishga keltiramiz, ya’ni

Agar belgilash kiritsak, (7) tenglama (6) ko’rinishni oladi. Uni yuqorida ko’rilgan usulda yechimini topish mumkin.