1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Tekshirish uchun savollar.

1. 
   Differensial tenglama deb qanday tenglamaga aytiladi?
   
2. 
   Tenglamani tartibi qanday aniqlanadi?
   
3. 
   Echim va umumiy yechim TA’RIFini ayting.
   
4. 
   Hosila ga nisbatan yechilgan tenglama uchun Koshi masalasini qo’ying.
   

2-MA’RUZA:
Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar. Amaliy masalalarga tadbiqi (Ko’zgu masalasi).
Reja:

1. 
   Bir jinsli funksiya tushunchasi.
   
2. 
   Bir jinsli tenglama va uni yechish usuli.
   
3. 
   Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
   

Quyidagi differensial tenglama berilgan bo’lsin.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)

Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funtsiyalar bo’lsa, u holda (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Matematik analiz kursidan ma’lumki, berilgan f(x,y) funksiya n - tartibli bir jinsli funksiya deyiladi, agar ixtiyoriy t uchun

f(tx,ty)= (2)

tenglik o’rinli bo’lsa .

Endi ushbu ma’lumotdan foydalanib, (1) tenglamani tahlil etamiz

(2) tenglikda t= almashtirish bajaramiz

f (1,
yoki
(3)
(3) formuladan foydalanib ( 1 ) ni quyidagicha yozamiz .

Demak bir jinsli tenglama

. (4)

Bu tenglamadan ko’rinadiki, koordinata boshida birorta ham integral chiziq o’tmaydi.

Bir jinsli tenglamani yechish uchun

y=zx (5)
almashtirish qilamiz, bunda z=z(x) yangi noma’lum funksiya (5) ni (4) tenglamaga qo’yamiz, buning uchun
dy=xdz+zdx ( )
ko’rinishda yozish mumkin.
Differensialni (hosilani ) topamiz.